Corrigés des exercices - Pearson

Au total, on trouve :σ 2 P = 1 (N σ2 + 1 − 1 )σ 2 ρ. (1.14)NC’est l’équation non démontrée de Farber et al. (2008). Si le portefeuille ne contient qu’unseul actif (N = 1), sa variance est σ 2 − la variance de cet actif (cela va de soi !). Mais s’il encontient deux, on trouve σ 2 P = 1+ρ2 σ2 < σ 2 et le risque diminue déjà.2 L’équation (1.14) de la variance peut se réécrire :σ 2 P = ρσ 2 + 1 N σ2 (1 − ρ) ,avec un second terme 1 N σ2 (1 − ρ) strictement positif, qui diminue vers 0 à mesure que Naugmente. On comprend alors que, lorsque N augmente, la variance du portefeuille diminuevers le premier terme ρσ 2 qui est la variance du portefeuille le plus diversifié. Sa volatilité estdonc √ ρσ.3 Pour étudier la sensibilité de la variance du portefeuille à l’ajout d’un titre, on pourrait penserdériver la fonction σ 2 P(N) vue comme une fonction du nombre de titres N. Mais c’est impossiblecar N est nécessairement un nombre entier. On va néanmoins capter la même idée enexploitant :σ 2 P (N + 1) − σ2 P (N) [1=(N + 1) − N N + 1 − 1 ]σ 2 (1 − ρ)N= − σ2 (1 − ρ)(N + 1) NOn trouve ici une valeur négative qui résume l’effet de diversification (la variance du portefeuillediminue). La valeur de cette sensibilité apparaît inversement proportionnelle à1N 2 +N ...L’effet diminue donc très rapidement.4 On a σ (1) = σ = 1 et σ (∞) = √ ρσ = √ 0, 251 = 0, 5. La volatilité du portefeuille leplus diversifié est moitié moindre que celle des actifs individuels qu’il contient. σ−σ P(N)σ− √ ρσest lerapport de deux différences. La différence au numérateur (σ − σ P (N)) mesure la diminutionde la volatilité obtenue avec N titres. Celle au dénominateur (σ − √ ρσ) mesure la diminutiontotale possible. Le rapport évalue le pourcentage de diversification réalisée avec N actifs.1 − σ2 P (N)σest donc le pourcentage qui reste à diversifier. On cherche donc le nombre N,2tel que σ−σ P(N)σ− √ ρσ= x %. Il est peu probable que l’on dispose d’une solution impliquant unnombre entier d’actifs permettant d’atteindre le seuil de x % exactement. On va déterminerles deux valeurs entières qui encadrent la solution de 1−√ ρ+ 1 N (1−ρ)1− √ ρ= x %. Pour ρ = 25 %1−ρet x % = 75 %, la solution vaut= 5, 333. Ajouter un sixième actif dans le(1−(1− √ ρ)x %) 2 −ρportefeuille permet de franchir le seuil de 75 % de diversification réalisée. Lorsque la corrélationest plus faible (par exemple ρ = 5 %), il faut aller jusqu’à huit actifs.Exercice 10Solution1 C’est la droite de plus forte pente.15© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux