Corrigés des exercices - Pearson

changement de variable N −1 [u] = v (u = N [v] ⇐⇒ du = n (v) dv), on a ∫ c0 N−1 [u] du =∫ N −1 [c]−∞vn (v) dv et donc :N −1 [u] du = √ 1 ∫ N −1 [c]x exp[− 1 ]2π 2 x2 dx∫ c0soit encore ES c (T) = −µ + σ n(N−1 [c])c.Exercice 11Solution−∞= √ 1 [− exp[− 1 ]] N −1 [c]2π 2 x2= −n ( N −1 [c] ) ,1 On laisse le lecteur revenir aux définitions du cours, on note que :F u [x] =F [u] − F [x + u]F [u]F [u] − (1 − F [x + u])=F [u]= 1 − 1 (1 − F [x + u])F [u]Si la valeur F [u] est estimée par N uN, alors on a F u [x] = 1 − N N u(1 − F [x + u]). Si, d’autre(−1/ξ,part (pour ξ ≠ 0), on a F u [x] = 1 − 1 + ξ β) x alors :soit encore, pour y > u,F [x + u] = 1 − N uNF [y] = 1 − N uN−∞(1 + ξ x β) −1/ξ,(1 + ξ y − u ) −1/ξ.βOr, par définition, la VaR c est le nombre positif tel que F [VaR c ] = 1 − c, on a donc :()1 − N ,POT −1/ξu VaREVT c − u1 + ξ = 1 − c,Nβd’où :EVT ,POTVaRc= u + β ξ( ( ) )−ξ Nc− 1 .N u282 Pour l’expected shortfall, l’équation (2.15) du livre implique que :EVT ,POT EVT ,POTESc= VaRc+ E [ ]EVT ,POTX − VaR ∣c X > VaREVT ,POTc .© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux