Corrigés des exercices - Pearson

Exercice 5SolutionUne idée consiste à représenter sur un graphique non la prime, elle-même, mais la proportionque représente cette prime dans la valeur du taux d’intérêt forward. On peut alors définir lafonction prop(T) = π(0,T)f(0,T ). En exploitant les formules nécessaires du cours et les valeurs deparamètres suggérés, on trouve la figure 6.21. On a représenté en trait plein le contexte oùθ = r 0 . Le trait pointillé correspond à la situation où la valeur de long terme θ est soit 10 %supérieure à r 0 (graphique de gauche) soit 10 % inférieure (graphique de droite). On retrouvedans la figure 6.25 la forme des courbes de la figure 6.2 (dans le livre). La figure 6.21 permetnéanmoins de dire que la prime de terme explique jusqu’à 8 % de la valeur du taux d’intérêtforward. Lorsque le prix du risque λ est inférieur à λ 0 , on constate que la proportion peutêtre négative. L’augmentation ou la diminution du taux spot instantané peut augmenter oudiminuer la prime, selon le contexte.Fig. 6.21 : Les primes de terme dans le modèle de Vasicek (1977)86θ = r 0 (1 + 10 %) θ = r 0 (1 − 10 %)86Proportion42Λ⩵1.1Λ 0Λ 0 ⩵Σ2ΚProportion42Λ⩵1.1Λ 0Λ 0 ⩵Σ2Κ002Λ⩵0.9Λ 02Λ⩵0.9Λ 00 5 10 15 20 25 300 5 10 15 20 25 30TTUne autre mesure peut être envisagée. Il s’agit de la prime relative η (0, T) = π(0,T )E P [r T ]quipermet d’écrire f (0, T) = E P [r T ] (1 + η (0, T)).Exercice 6SolutionSolution courte : la formule d’évaluation (6.7) nous apprend que le prix à la date t = 0d’une obligation zéro-coupon est donné par la formule :( ∫ T)]p (0, T) = E[expQ − r s ds . (6.6)0La somme des taux d’intérêt futurs sur la période [0, T] ( ∫ T0 r sds) est une variable aléatoirenormale dans l’univers objectif (Ω, F, P), dont les deux premiers moments sont (6.13) et (6.14).On sait que le passage de (Ω, F, P) à (Ω, F, Q) ne change pas la nature du comportement dutaux instantané. Cela reste un processus stochastique admettant un retour à la moyenne etune volatilité constante. Seul le paramètre θ devient θ Q .95© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux