Corrigés des exercices - Pearson

expression que l’on peut injecter dans la seconde équation. On trouve alors :r (t + ∆t) = θ − (θ − r (t)) e −κ∆t = r (t) e −κ∆t + θ ( 1 − e −κ∆t) . (6.2)On veut maintenant une expression pour comparer avec la dynamique (6.31).En retranchant r (t) à gauche et à droite de l’égalité (6.2), cette expression implique égalementque :On a donc :r (t + ∆t) − r (t) = [θ − r (t)] − (θ − r (t)) e −κ∆t= (θ − r (t)) ( 1 − e −κ∆t) .∆r (t) = (θ − r (t)) ( 1 − e −κ∆t) ,ce qui diverge sensiblement de l’expression (6.31). Néanmoins, si ∆t et / ou κ est très petit,alors on peut appliquer le développement limité de la fonction exponentielle à l’ordre un eton trouve e −κ∆t ≃ 1 − κ∆t. On trouve une approximation de la forme :∆r (t) ≃ κ (θ − r (t)) ∆t,qui sera d’autant meilleure que ∆t et/ou κ sera petit.2 Sur le compte de capitalisation.a) En principe, la valeur du compte devrait être connue à l’avance en toute date parce que latrajectoire du taux d’intérêt spot instantané (qui sert de référence pour la rémunération) est déterminée.Si vous n’avez pas su répondre à cette question, c’est que la notion de comportementdéterministe n’est pas assimilée.b) Placer un euro sur un compte de capitalisation qui rémunère le taux d’intérêt r (t) à chaqueinstant t rapporte à la date T :[∫ T]1 × exp r (t) dt .0On notera β T ce terme. Il suffit donc de calculer ∫ T0r (t) dt. On trouve :∫ T0r (t) dt =∫ T0[θ − (θ − r (0)) e−κt ] dt∫ T ∫ T= θ dt − (θ − r (0)) e −κt dt00[ −e−κt= θT − (θ − r (0))κ] T0= θT − (θ − r (0)) 1 − e−κTκ= r (0) T + (θ − r (0))(T − 1 − e−κTκ).Cette dernière expression montre que la rémunération moyenne annuelle du compte de capitalisationest r (0) plus ou moins un terme qui dépend notamment de (θ − r (0)).83© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux