Corrigés des exercices - Pearson

La condition ∂ ln v∂ ln S = 2 se réécrit 1−d 11 (ln S)σ √ = 2 et, en développant le terme d T1 (ln S),on trouve :ln (S gamma /K) + ( r + 1 2 σ2) Tσ √ = −σ √ T,Tsoit encore :Attention ! Ce maximum n’est pas global.Exercice 5Solution[S gamma = K exp −(r + 3 ) ]2 σ2 T .1 En notant τ = T − t, on sait que :[ln (St /K call ) + ( r + 1 2∆ call = N [d 1 ] = Nσ2) ]Tσ √ ,Ton a donc :K call = S t e −N−1 [∆ call ]σ √ T+(r+ 1 2 σ2 )T .Pour le put, on a :[ ( ) (ln Kput /S t − r +12∆ put = −N [−d 1 ] = −Nσ2) ]τσ √ ,τK put = S t e N−1 [−∆ put]σ √ T +(r+ 1 2 σ2 )T .2 On voit que les strikes partagent quelques termes en commun. On peut en tirer parti :– le produit des deux implique : K call = S2 tK putexp [( 2r + σ 2) T ] ;[– le rapport des deux K call = K put exp −2N −1 [∆ call ] σ √ ]T .3 L’option de vente ATM a un delta de :[−N −dput ATM1[](r +1= −N −2 σ2) Tσ √ T],celle ATM forward :[−N −dput ATM forward1][= −N − 1 ]2 σ√ T ,Les options d’achat de même sensibilité (au sens de valeur absolue du delta) ont respectivementdes strikes de S t exp [( 2r + σ 2) T ] et S t exp [( r + σ 2) T ] .124© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux