Corrigés des exercices - Pearson

Exercice 4Solution⎛⎞0, 01000 0, 00360 0, 003001 La matrice de variance-covariance est donnée par V = ⎝ 0, 00360 0, 01440 0, 00720 ⎠ par0, 00300 0, 00720 0, 02250simple application de la définition.2 La condition de premier ordre ∇L 1 (X, λ x , λ r ) = 0 s’écrit :⎧∂L 1⎨⎩∂X (X, λ x, λ r ) = 0∂L 1∂λ r(X, λ x , λ r ) = 0∂L 1∂λ x(X, λ x , λ r ) = 0, (1.5)où 0 est un vecteur colonne (N × 1) ne contenant que des 0. En notant X C r, λ C rxsolutions (l’exposant insiste sur leur dépendance au choix de C r ), on trouve :Ce système se réécrit :soit encore :⎛⎝⎧⎨⎩⎛2V X C r+ λ C rx⎝ 2V R UR ′ 0 0U ′ 0 0X C rλ C rrλ C rx⎞⎠ =U + λ C rr R = 0R ′ X C r−C r = 0U ′ X C r− 1 = 0⎞ ⎛⎠ ⎝⎛X C rλ C rrλ C rx⎞⎝ 2V R UR ′ 0 0U ′ 0 0⎠ =⎞⎠⎛⎝ 0 C r1−1 ⎛⎝ 0 C r1⎞.⎠ ,⎞et λ C rxles⎠ . (1.6)3 Le calcul (1.6) est aisé à réaliser sur Excel car ce tableur inverse les matrices. On peut alorsconstruire (point par point) l’enveloppe E des portefeuilles de variances minimales en effectuant,pour chaque valeur C r , le calcul C r ↦−→ X C r√↦−→ (σ P , E [R P ]), avec σ P =(X C r ) ′ VX C ret E [R P ] = ( X r) C ′R. Prenons un exemple.⎛⎞⎛ ⎞ 0, 02000 0, 00720 0, 00600 6 % 1⎛ ⎞2V R U0, 00720 0, 01440 0, 01440 7 % 1−12V R UPour ⎝ R ′ 0 0 ⎠ =⎜ 0, 00600 0, 01440 0, 0450 11 % 1⎟U ′ 0 0 ⎝ 6 % 7 % 11 % 0 0 ⎠ , la matrice ⎝ R ′ 0 0 ⎠U ′ 0 01 1 1 0 0peut être explicitement calculée en utilisant ⎛la fonction ⎞ INVERSEMAT(.). Inutile d’imprimer⎛ ⎞ 000le résultat. Et si l’on considère ⎝ C r⎠ =⎜ 0⎟, on trouve alors :1 ⎝ 5 % ⎠1⎛ ⎞⎛X C ⎞107, 4 %r18, 6 %⎝ λ C r ⎠r =⎜ −26, 0 %⎟λ C r ⎝x0, 4 ⎠ .0, 057© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux