Fig. 6.4 : Structure par terme <strong>des</strong> taux d’intérêt spot vs structure par terme <strong>des</strong> taux d’intérêt forward.10%9%8%7%r(0,T)6%f(0,T)5%r(0,T)4%3%2%0 5 10 15 20 25 30Exercice 2SolutionQuestion préliminaire : pour simuler, on utilise la figure 6.5.Fig. 6.5 : Simuler <strong>des</strong> réalisations d’une variable normale centrée réduite.86Les valeurs simulées sont générées en choisissant 111 comme nombre générateur. Vous devriezobtenir les mêmes résultats.1 On représente dans la figure 6.6 les valeurs du taux d’intérêt instantané obtenues pour lescénario envisagé. Dans tous les cas, on a κ = 1 et θ = 9 %, alors que σ peut prendre plusieursvaleurs (0 %, 0,5 %, 1 % et 2 %).© 2010 <strong>Pearson</strong> France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux
Fig. 6.6 : Simulations de trajectoires du taux d’intérêt instantané selon le modèle de Vasicek.La formule discrétisée est donnée par :r t+∆t − r t = κθ∆t − κr t ∆t + σ √ ∆tε t+∆t .Dans la dernière colonne, en date 2, on trouve 5,93 % en effectuant le calcul :r 2 = 6 % + 1 × (9 % − 6 %)√1 1360 + 2 % (−0, 744) = 5, 93 %.360On peut alors reproduire cette formule sur 720 jours, puis comparer ces résultats avec ceuxassociés à θ = 3 % (en utilisant les mêmes valeurs simulées). Avec le même jeu de donnéessimulées, on trouve alors les graphiques de la figure 6.7. Les courbes régulières en pointillésont associées à la tendance déterministe (σ = 0). Les autres trajectoires sont obtenues pourune volatilité égale à 0,5 %, 1 % et 2 %. Conformément aux attentes, le taux d’intérêt fluctued’autant plus que le paramètre de la volatilité augmente. Comme l’illustre le graphique àdroite, la volatilité peut permettre d’atteindre le niveau de long terme plus rapidement. Letaux d’intérêt instantané ne pourra pas s’y maintenir, du fait de la présence de chocs.Le graphique 6.8 représente différentes trajectoires obtenues avec le même jeu de variablessimulées. Les trajectoires reflètent parfaitement l’impact de la force de rappel. Lorsque κ = 0,on ne constate aucune convergence, mais à mesure que la valeur de κ augmente, le tauxd’intérêt converge plus rapidement vers sa valeur de long terme θ. Pour κ = 10, la convergenceest assez rapide, même si la volatilité induit par la suite une incertitude.2 D’un point de vue financier, le changement d’un seul paramètre peut poser problème dans lamesure où l’on change la modélisation du taux d’intérêt instantané futur d’une manière noncontrôlée. Si l’espérance E [r ∞ ] = θ n’a pas changé, l’écart-type (SD r∞ = √ σ r2κ) n’est plusle même selon les spécifications. Pour les différents niveaux de volatilité et la figure 6.8, ontrouve respectivement 0,00 %, 0,35 %, 0,71 % et 1,41 %. Pour les différents niveaux de forcede rappel et la figure 6.9, on trouve respectivement 0,82 %, 0,50 % et 0,22 %. Clairement, onchange de registre.On peut vouloir comparer <strong>des</strong> trajectoires du processus d’Ornstein-Uhlenbeck dont les paramètresinduiraient la même espérance et la même variance du taux d’intérêt instantané de longterme. Il suffit de choisir SD r∞ et de fixer κ et on en déduit, par la formule SD r∞ = √ σ r2κ, queσ r = SD r∞√2κ. La figure 6.9 illustre le propos avec θ = 9 %, SDr∞ = 0, 5 % et κ = 0, 75,2 ou 10.87© 2010 <strong>Pearson</strong> France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux
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Corrigés des exercices
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avec o (x) un terme négligeable. O
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7 Vous allez devoir estimer 200 ren
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Exercice 4Solution⎛⎞0, 01000 0,
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Fig. 1.1 : Les enveloppes de portef
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⎛portefeuille M : E [R M ] = 9, 8
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Dans le repère (0, E [R] , σ), il
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Au total, on trouve :σ 2 P = 1 (N
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où λ est le multiplicateur de Lag
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Notons qu’il n’existe pas d’e
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La première expression démontre q
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pointe vers la droite (et donc les
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3 On trouve le tableau 2.7.Tab. 2.7
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changement de variable N −1 [u] =
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fort. Le coefficient d’asymétrie
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Fig. 2.7 : Détermination graphique
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Fig. 9.6 : Volatilité implicite et
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Fig. 9.10 : Histogramme des prix ob