CorrigÃ©s des exercices - Pearson

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second ordre le sous-évalue systématiquement lorsque le taux actuariel baisse, et le sur-évaluedans le cas contraire.4 En notant que dP(t,T,Y)P(t,T,Y)S ∆Y. On a alors := d ln P (t, T), on peut estimer que ∆P(t,T,Y)P(t,T,Y)ln P ( t + , T ) − ln P ( t − , T ) ≈ S ∆Yln P ( t + , T ) ≈ ln P ( t − , T ) + S ∆YP ( t + , T ) ≈ P ( t − , T ) exp [S ∆Y] .= ∆ ln P (t, T, Y) ≈Les résultats de cette nouvelle approximation (approximation alt.) sont donnés dans le tableau :Prix Obligation (rappel) 1 070,24 1 000,00 935,82 1 064,18 1 000,00 941,11 1 058,89 1 000,00 945,74Approximation ordre 1 1 067,10 1 000,00 932,90 1 061,45 1 000,00 938,55 1 056,50 1 000,00 943,50Écart 3,14 2,92 2,73 2,55 2,39 2,24Approximation ordre 2 1 070,13 935,93 1 064,09 941,19 1 058,82 945,81Écart 0,11 - 0,100,09 - 0,09 0,08 - 0,07Approximation alt. 1 069,40 935,10 1 063,37 940,40 1 058,13 945,06Écart 0,83 0,72 0,80 0,70 0,76 0,67On constate que la performance de cette approche « de premier ordre » (puisque n’utilisantque la sensibilité) est largement améliorée, sans atteindre toutefois la qualité d’une approximationdu second ordre. N.B. : vous venez de retrouver la contribution de Livingston et Zhou(2005).Exercice 4Solution1 La duration est une moyenne pondérée des durées d’attente jusqu’aux divers flux financiersde l’obligation. On a ∑ a i t i . Le calcul des poids a i va faire la différence entre les diversesiapproches. On peut tout d’abord reprendre la duration de Macauley qui utilise le rendementactuariel. On aura alors :a ∗ i = C i/ (1 + R ∗ ) i,P 0avec C i le flux de la date i. On peut également utiliser la duration de Fisher-Weil qui pose,elle :a i = C i/ (1 + R (0, t i )) iP 0.On trouve :Flux 30 30 30 30 30 30 30 30 30 1 030Taux actuariel en % 3,493Flux actualisés 28,987 28,009 27,063 26,150 25,267 24,414 23,590 22,794 22,025 730,654Prix Obligation 958,954Poids 0,030 0,029 0,028 0,027 0,026 0,025 0,025 0,024 0,023 0,762Échéance pondéré 0,030 0,058 0,085 0,109 0,132 0,153 0,172 0,190 0,207 7,619Duration Macauley 8,755et74Flux 30 30 30 30 30 30 30 30 30 1 030Flux actualisés 29,768 29,195 28,378 27,424 26,387 25,286 24,178 23,120 22,050 723,169Prix Obligation 958,954Poids 0,031 0,030 0,030 0,029 0,028 0,026 0,025 0,024 0,023 0,754Échéance pondéré 0,031 0,061 0,089 0,114 0,138 0,158 0,176 0,193 0,207 7,541Duration Fisher Weil 8,708© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux
Dans ce dernier tableau, les flux actualisés tiennent compte du taux spot de l’horizon considéréet on constate une différence entre les deux durations. Cette différence reste (au total)assez faible. Mais le graphique suivant met en lumière les écarts entre les poids C/(1+R∗ ) ietC/(1+R(0,t i )) iP 0pour i = 1, ..., 10 (on peut choisir d’autres représentations). Dans les deux cas,les coupons versés à long terme pèsent moins que ceux versés à court terme. Les durationsdivergent quasi sur tous les poids à accorder aux coupons. Dans le contexte de taux présenté,la duration de Fisher-Weil accorde un poids plus important aux coupons promis jusqu’à 8 ans.Il existe un consensus sur le coupon à 9 ans (pour lequel, on a bien R (0, 9) ≈ R ∗ ). Le derniercoupon est sous-pondéré par la duration de Fisher-Weil par rapport à celle de Macauley. Laproximité finale des deux durations provient de la valeur relative importante de la valeur facialedans l’obligation (le taux de coupon est ici faible, 3 %). Les coupons à court terme étantsurpondérés dans la duration de Fisher-Weil, on trouve très logiquement que cette dernièreest plus faible que la duration de Macauley.a i0.032P 00.0300.0280.0260.024FWMac0.0220 2 4 6 8 10 Horizoni2 Pour la convexité, le plus simple est d’employer la définition traditionnelle (5.6) :( )1 ∑CX Y =(1 + R ∗ ) 2 a ∗ i t 2 i + D .iOn trouve une convexité de 85,845.3 La duration et la convexité sont deux paramètres de sensibilité au comportement du tauxactuariel. Deux approches sont donc envisageables ici.La première consiste à convertir tous les taux d’intérêt spot R (0, t) en taux spot r (0, t) et ensuiteà refaire l’ensemble des calculs.La seconde consiste∑à remarquer que la duration est nécessairement la même, puisqu’elle est1donnée par958,954C i x i t i , avec x le facteur d’actualisation solution de ∑ C i x i =958,954,iiavec C i le flux financier reçu en t i . Autrement dit, il existe une correspondance « naturelle »entre les taux actuariels R ∗ et r ∗ puisque ces derniers sont deux transformations d’un mêmefacteur d’actualisation x. Plus précisément, on a x = 11+Ret x = exp [−r ∗ ]. On pourra∗vérifier (par le solveur) que r ∗ = ln (1 + R ∗ ). Le calcul de la convexité demande néanmoinsune approche développée. On trouve alors 83,192, soit une valeur plus faible.75© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux
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avec o (x) un terme négligeable. O
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7 Vous allez devoir estimer 200 ren
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Exercice 4Solution⎛⎞0, 01000 0,
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Fig. 1.1 : Les enveloppes de portef
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⎛portefeuille M : E [R M ] = 9, 8
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Dans le repère (0, E [R] , σ), il
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Au total, on trouve :σ 2 P = 1 (N
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où λ est le multiplicateur de Lag
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Notons qu’il n’existe pas d’e
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La première expression démontre q
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La condition ∂ ln v∂ ln S = 2 s
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Exercice 8Solution1 Prix et princip
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Exercice 10Solution1 Le prix d’un
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2. Le cours de l’action est supé
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Pour le moment d’ordre deux, on a
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alors estimée en actualisant (sur
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Fig. 9.10 : Histogramme des prix ob
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