Corrigés des exercices - Pearson

Chapitre 6Exercice 1SolutionQuestion préliminaire : si r (0) = θ, alors dr (0) = 0, soit encore r (dt) = r (0) = θ.Autrement dit, le taux spot instantané ne varie pas d’une période à l’autre. Il reste égal à θ.Si κ = 0, on a également dr (0) = 0 et le taux spot instantané reste, là encore, égal à savaleur initiale. Attention toutefois, cette valeur peut ne pas être θ. Dans ces deux cas, le tauxspot instantané futur aura la même valeur r 0 . La structure par terme des taux d’intérêt spot estalors plate et son niveau est r 0 .1 a) Pour montrer le résultat recherché, deux approches sont possibles :– soit on reconnaît dans l’équation (6.31) une équation différentielle ordinaire de la former ′ (t) = κ (θ − r (t)), que l’on sait résoudre par ses connaissances de Licence (c’est une équationstandard) ;– soit on retrouve la solution à la main ce que l’on propose maintenant.En posant y (t) = θ − r (t), on a :c.-à-d. y′ (t)y(t) = −κdt, soit encore1 :y ′ (t) = −κy (t) dtd ln y (t) = −κdt.En intégrant entre 0 et t les termes des deux côtés de cette dernière équation, on trouveln y (t) − ln y (0) = −κ (t − 0). On a :ln y (t) = ln y (0) − κt.En appliquant la fonction exponentielle à gauche et à droite de l’égalité, on trouve y (t) =y (0) e −κt . Puisque y (t) = θ − r (t), on a :r (t) = θ − (θ − r (0)) e −κt . (6.1)Et si on réorganise judicieusement les termes, on trouve l’expression recherchée. Puisque e −κtest positif et inférieur à 1, 1 − e −κt l’est aussi, r (t) est la moyenne des deux valeurs r (0) et θ.b) En faisant tendre T vers l’infini dans l’expression précédente, on trouve que la valeur à longterme du taux d’intérêt spot instantané est r (∞) = θ. Ce résultat donne une interprétationnaturelle de θ.Puisque e −κt admet une valeur comprise entre 0 et 1, l’équation (6.32) indique que la valeurdu taux instantané de la date t est la moyenne pondérée de sa valeur initiale et de sa valeurde long terme.c) La dynamique décrite par l’équation (6.31) pose que la variation du taux d’intérêt spot instantanéest proportionnelle :1 Puisque les règles de différentiation classiques s’appliquent dans ce contexte déterministe.81© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux