Corrigés des exercices - Pearson

pointe vers la droite (et donc les rentabilités positives), il est logique que la valeur de la VaRdiminue (par rapport à la VaR normale). Symétriquement, un skewness négatif signale une distributionqui pointe vers la gauche (et les rentabilités négatives) et une telle forme impliqueune VaR plus importante. Par comparaison avec les simulations de l’équation (2.3), celles del’expression (2.22) de l’énoncé montrent que le kurtosis égal à 4 ou 5 génère évidemment unevaleur en risque plus forte. Les seules exceptions sont les VaR à 5 %.Exercice 5SolutionOn trouve le tableau 2.5.Tab. 2.5 : Simulations de ES c (T)1-cmu sigma 95,00 % 97,50 % 99,00 % 99,90 % 99,99 %0 1 2,063 2,338 2,665 3,367 3,95710 % 1 1,963 2,238 2,565 3,267 3,857-10 % 1 2,163 2,438 2,765 3,467 4,05710 % 10 % 0,106 0,134 0,167 0,237 0,29610 % 20 % 0,313 0,368 0,433 0,573 0,69110 % 30 % 0,519 0,601 0,700 0,910 1,08710 % 40 % 0,725 0,835 0,966 1,247 1,483Conformément à l’intuition, l’expected shortfall augmente avec le seuil de confiance et la volatilité.En cohérence avec sa définition, cette mesure de risque est systématiquement supérieureà la valeur en risque correspondante. On note néanmoins que l’écart entre les deux diminueà mesure que l’on s’intéresse à des pertes encore plus extrêmes.Exercice 6Solution1 La fonction ln Γ (x) étant disponible sur Excel, il est intéressant (si l’on veut utiliser ce tableur)de réécrire la densité de Student standard (2.23) du livre comme :[exp ln Γ ( ) (v+12 − ln Γ v) ( )]2 −v+12ln 1 + t2 vf v (t) =√ vπ= EXP(LNGAMMA ((v + 1) /2) − LNGAMMA (v/2)− (v + 1) ln (1 + tˆ2/v) /2)/RACINE (v PI()) .On ( peut√alors ) représenter les densités f v et t v (avec v = 5) en compagnie de n (0, 1) etn 0, vv−2respectivement qui sont, elles, issues de la loi normale. On pourra considérer,par exemple, 101 valeurs de t comprises entre -5 à 5 et se focaliser ensuite sur les valeursextrêmes gauches, synonymes de pertes. On trouve les deux graphiques de la figure 2.3.Les deux graphiques de la figure 2.3 montrent que la densité de Student pondère en effet plusfortement les rentabilités extrêmes que la loi normale. Mais ils indiquent aussi qu’il faut resterprudent dans le traitement de telles rentabilités. La loi de Student standard (f 5 ) possède en effetune variance « naturelle » supérieure à 1 (√nn−2) ce qui rend impropre toute comparaison23© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux