Corrigés des exercices - Pearson

fort. Le coefficient d’asymétrie (skewness) est faible ; la distribution empirique est donc presquesymétrique. Le kurtosis, lui, est égal à 7,943. Il indique la présence de valeurs extrêmes.Tab. 2.10 : Statistiques descriptives des rentabilités géométriquesMoyenne empirique -0,0019 % RMédiane 0,0330 %Ecart-type empirique 1,55 % s ou ̂σvariance empirique 0,000 s 2Kurtosis* empirique 4,943 ̂kSkewness empirique 0,006 ŝkPlage 20,07 %Minimum −9,47 %Maximum 10,59 %Nombre de données 2 807Statistique de Bera-Jarque** 2 857 ̂BJ* Le kurtosis est calculé, ici, en excès de 3.** La statistique de Bera-Jarque rejette fortement la normalité.30L’histogramme fournit une représentation de la distribution empirique des rentabilités observées.Il est également donné dans le chapitre 1 et vous trouverez cette fonction dans les outilsd’Excel (Utilitaires d’analyse). L’histogramme confirme le diagnostic réalisé à partir des statistiquesdescriptives du tableau. On constate bien la symétrie. Dans la figure 2.5, on a superposéla fonction de répartition d’une loi normale qui aurait même moyenne et même variance. Onvoit bien ici l’écart entre les deux. Un test de normalité plus formel (celui de Bera-Jarque) rejetted’ailleurs l’hypothèse de normalité. On sait que la statistique BJ suit une loi du Chi-deux àdeux degrés de liberté (BJ ∼ χ 2 2). Sur nos données, on trouve ̂BJ ≈ 2 857 qui est naturellementbien au-delà du seuil de confiance à 1 %. On devrait rejeter l’hypothèse de normalité.La figure 2.5 compare la distribution empirique des rentabilités (telle que dessinée par Excel)avec la fonction de répartition de la loi normale. Le graphique du haut présente l’ensemble dela distribution pendant que celui du bas insiste sur la queue gauche. On rappelle également lemoyen graphique de détermination des quantiles. On constate visuellement la différence.3 a) Dans le cas d’une VaR gaussienne, on suppose que les rentabilités sont indépendantes et,toutes, distribuées selon une loi N (µ, σ). µ et σ sont respectivement l’espérance et l’écarttypedes rentabilités. On note Θ = { µ, σ 2} l’ensemble des paramètres à estimer. Plusieursapproches coexistent pour l’estimation des paramètres de cette loi. La méthode des momentsconsiste à identifier les moments théoriques aux moments empiriques correspondants. Onpose donc ̂µ MM = R et ̂σ 2 MM = s 2 , avec les valeurs exposées dans le tableau. Une secondeméthode, dite du maximum de vraisemblance nous apprend que ̂µ MV = R et ̂σ 2 MV =N−1N s2 (voir Roger [2004], Dor [2004]). Puisque N = 2 807, on a 2 8062 807√̂σ ≈ 99, 96 et 2 MV =√2 8062 807√̂σ s ≈ 2 MM. Il n’y a pas de différence d’un point de vue numérique.Dans le cas d’un développement de Cornish-Fisher, on reprend les valeurs des statistiquesdescriptives.© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux