Corrigés des exercices - Pearson

L’égalité (1) vient de la normalité conditionnelle ( E t−1[ε 4 t]= 3). L’égalité (2) provient de laE[ t−1 [ε] 2 t ]2définition de la variance conditionnelle h t = E t−1 ε2t . Puisque ht = c + aε 2 t−1 + bh t−1 ,on a (en mettant au carré) :h 2 t = c 2 + a 2 ε 4 t−1 + b 2 h 2 t−1 + 2acε 2 t−1 + 2bch t−1 + 2abε 2 t−1h t−1 .En prenant l’espérance de h 2 t et en se souvenant que E [ [ ] [ ]εt] 4 = 3E h2t et E ε2t = E [ht ]pour tout t, on a :E [ ht] 2 = c 2 + 3a 2 E [ ht−1] 2 + b 2 E [ ]h 2 t−1+2acE [ [ ] [ ]εt−1] 2 + 2bcE ε2t−1 + 2abE h2t−1 .La dernière écriture s’explique par E [ ] [ [ ]] [ [ ] ]ε 2 t−1h t−1 = E Et−2 ε2t−1 h t−1 = E Et−2 ε2t−1 ht−1 =E [h t−1 h t−1 ]. On a donc :E [ ht] 2 = c 2 + 2c (a + b) E [ (εt−1] 2 + 2ab + 3a 2 + b 2) E [ ]h 2 t−1= c 2 c+ 2c (a + b)1 − a − b + ( 2ab + 3a 2 + b 2) E [ ]h 2 t−1 (3.4)= u + vE [ ]h 2 t−1N−1∑= u v i + v N E [ ]h 2 t−Ni=0= u 1 − vN1 − v + vN E [ ]h 2 t−N .C’est une somme de termes géométriques qui converge si et seulement si v < 1, soit encore :2ab + 3a 2 + b 2 < 1.Dans ce cas, on a E [ h 2 t]=u1−v qui ne dépend pas de N. Si E [ h 2 t]existe et vaut une constantequel que soit t, on a directement le résultat de l’équation (3.4) :soit encore :On a donc :E [ h 2 t]= c 2 + 2c (a + b)c1 − a − b + ( 2ab + 3a 2 + b 2) E [ ]h 2 t ,E [ []]h 2 t = c 2 c1+ 2c (a + b)1 − a − b 1 − (2ab + 3a} {{ }2 + b 2 )} {{ }[=c[ 1−a−b] 2 [1−(a+b) 2 ]c1 − a − b] 21 − (a + b) 21 − (a + b) 2 − 2a 2 .11−(a+b) 2 −2a 246k = E [ ]r 4 tE [r = 2 t ]2[3E [ ]h 2 tc1−a−b0] 2= 3 1 − (a + ({ }} {b)2 + −2a 2 + 2a 2)1 − (a + b) 2 = 3 +− 2a 26a 21 − (a + b) 2 − 2a 2 .© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux