Corrigés des exercices - Pearson

La structure par terme de volatilité croît ou décroît de σ 2 t+1|t vers σ2 de manière exponentielle.La structure sera croissante si σ 2 t+1|t < σ2 , et décroissante si σ 2 t+1|t > σ2 .Dans la figure 3.7, on représente les structures par terme des variances conditionnelles correspondantsà différentes valeurs initiales σ t+1|t = 25, 30, 35, 40, 45, 50 et 55. On a posé√a + b = 0, 9 et c = 0, 016, et représenté σ (k) = σ 2 + e ( −(− ln(a+b))k σ 2 I − σ2) .Fig. 3.7 : Structure par terme des variances conditionnelles attendues.0.550.500.45σ t+τ+1t0.400.350.300.250 10 20 30 40 50τa + b = 0, 9, σ 2 = 0,0161−0,9La structure à terme des volatilités ( )ν t+k|t k données par ν2 t+k|t ≈ ∑ kj=1 h t+j|t est alorssimple à représenter. On pourra vérifier son retour à la moyenne de long terme.6 On sait que h 2 t = c + aε 2 t−1 + bh 2 t−1. Il suffit de remplacer h 2 t−1 par sa propre expressionafin de faire apparaître les différents chocs ( ε 2 t)au carré :σ 2 t = ct∑b k−1 + ak=1t∑b k−1 ε 2 t−k + b t σ 2 0.k=1En supposant b < 1, b t ≈ 0 et ∑ tk=1 bk−1 = 1−bt1, la relation devient approximativement :1−b ≈ 11−bσ 2 1t∑t ≈ c1 − b + a b k−1 r 2 t−kk=1pour t beaucoup plus grand quepuisque ε t = r t . On voit que la variance conditionnelle fournie par le processus GARCH(1, 1)est une moyenne pondérée particulière des rentabilités au carré (plus une constante) !48© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux