Corrigés des exercices - Pearson

Cette variance ne dépend pas de θ Q et elle ne sera pas affectée par le changement de probabilité.Exercice 7Solution1 La définition utile est ici :f (t, T) = −∂ ln P (t, T).∂T2 Sachant p (t, T) = A (T − t) exp [−B (T − t) r t ], on a :∂ ln A (T − t)f (t, T) = − +∂T∂B (T − t)r t .∂TLe taux d’intérêt forward f (t, r t ) est donc une fonction linéaire de r.3 Si la dynamique de r est un processus d’Ito, le lemme d’Ito s’applique. Il nous apprend quela dynamique des taux à terme f (., T) = (f (t, T)) t est capturée par un processus d’Ito de laforme :df (t, T) = µ f dt + σ f dW Q t ,dont les coefficients sont précisément définis. On a µ f = f t + κ ( θ Q )− r t fr + 1 2 σ2 f rr etσ f = σf r avec en reprenant l’expression ci-dessus :∂f (t, r)f r = ∂B (T − t)∂r ∣ =r=rt∂Tf rr = 0∂f (t, r)f t = ∂t ∣r=rt= − ∂ [ ]∂ ln A (T − t)+ ∂ ∂t ∂T ∂t= − ∂2 ln A (T − t)∂T∂tEn notant que ∂B(T−t) = 1 − κB (T − t) et∂ 2 B(T−t)∂T∂t∂T∂B(T −t)∂T= κPour :ln A (T − t) = −(θ Q − σ2on a :[ ∂B (T − t)∂T+ ∂2 B (T − t)r t .∂T∂t]r t∂B(T −t)∂t= − ∂B(T−t)∂T= κB (T − t) − 1, on a. Les calculs suivants sont un peu laborieux, mais relativement simples.∂ ln A (T − t)∂T2κ 2 )(T − t) +) (θ Q − σ22κ 2 B (T − t) − 1 σ 24 κ B (T − t)2 ,)= −(θ Q − σ22κ 2 )+(θ Q − σ2(12κ 2 − κB (T − t))− 1 2σ 2B (T − t) (1 − κB (T − t))κ= −θ Q κB (T − t) + σ22 B (T − t)2 ,97© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux