Fig. 2.3 : La distribution de la loi de Student.0,600,50t_50,400,30n(0,1)0,070,050,200,10--5,00-4,50-4,00-3,50-3,00-2,50-2,00-1,50-1,00-0,50f_5⎛n ⎜0,⎝-0,000,501,001,502,002,503,005 ⎞⎟3⎠3,504,004,505,000,030,02-0,00-5,00 -4,50 -4,00 -3,50 -3,00 -2,50 -2,00directe avec la loi normale n (0, 1). En fait, seule la densité de Student standardisée (t 5 ) estcomparable à n (0,(1).√Il convient)de comparer la densité de Student standard à la courbe demême variance n 0, .532 En reprenant le tableau 2.1 et en posant v = 5, on trouve le tableau 2.6.Tab. 2.6 : Simulations de R v,c (T) avec v = 5.v 51-cmu sigma 95,00 % 97,50 % 99,00 % 99,90 % 99,99 %0 1 1,561 1,991 2,606 4,565 7,49510 % 1 1,461 1,891 2,506 4,465 7,395-10 % 1 1,661 2,091 2,706 4,665 7,59510 % 10 % 0,056 0,099 0,161 0,357 0,65010 % 20 % 0,212 0,298 0,421 0,813 1,39910 % 30 % 0,368 0,497 0,682 1,270 2,14910 % 40 % 0,524 0,696 0,943 1,726 2,89824On constate que les valeurs en risque se comportent les unes par rapport aux autres conformémentà l’intuition (voir exercice 1). La comparaison avec les VaR normales du tableau 1(obtenues dans les mêmes contextes de moyenne et variance) est intéressante. On constateque la VaR Student est a) inférieure à la VaR normale lorsque le seuil de confiance est modéré(95 %), de même ordre de grandeur pour 1 − c = 97, 5 % et nettement supérieure, au-delà.© 2010 <strong>Pearson</strong> France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux
3 On trouve le tableau 2.7.Tab. 2.7 : Simulations de ES v,c (T)v 51-cmu sigma 95,00 % 97,50 % 99,00 % 99,90 % 99,99 %2,015 2,571 3,365 5,894 9,6760 1 2,2387 2,7278 3,4488 5,8203 9,445210 % 1 2,1387 2,6278 3,3488 5,7203 9,3452-10 % 1 2,3387 2,8278 3,5488 5,9203 9,545210 % 10 % 0,1239 0,1728 0,2449 0,4820 0,844510 % 20 % 0,3477 0,4456 0,5898 1,0641 1,789010 % 30 % 0,5716 0,7183 0,9347 1,6461 2,733610 % 40 % 0,7955 0,9911 1,2795 2,2281 3,6781Exercice 7Solution1 Le problème s’écrit plus formellement :[ −RMaxNc MaxVaR(T) − µσ]] [+ exp[2 −µRMax c MaxVaR(T) −RMaxσ 2 NLorsque µ = 0, on a pour les deux VaR : Nc MaxVaR(T) − µσ[ ][−Rc (T)−RMaxσ= c V et 2N]= c MaxVaR. (2.4)c MaxVaR(T )σ]= c MaxVaR.Pour[la première]lecture, conservons le seuil R c (T) pour la MaxVaR. On trouve alors c MaxVaR=2N −Rc (T)σ= 2c V . Autrement dit, la probabilité de voir la VaR franchie durant la périodeest deux fois celle de la voir atteinte à l’échéance !Pour la deuxième lecture, conservons le niveau c V pour la MaxVaR. On a alors R Maxc V(T) =−σN [ −1 12 c V]> −σN −1 [c V ] = R cV (T). Le seuil doit être plus élevé. Autrement dit, on vaplus loin dans les extrêmes (et cela pour être moins facilement atteignable).Pour la troisième lecture, on sait déjà que si on double le niveau c V pour la MaxVaR, onobtient :[ −RMax]c2NMaxVaR(T)= cσMaxVaR= 2c VaR,[ −RMax] [ ]csoit encore 2N MaxVaR(T)σ= 2N −Rc (T)σ. On a donc, après simplification,R Maxc MaxVaR(T) = R c (T). Autrement dit, on doit accepter de diminuer le seuil de confiance (enfait de 1 − c V à 1 − 2c V ) pour utiliser la VaR habituelle comme MaxVaR.2 Pour µ, σ et c connus, on peut calculer la VaR normale. Pour un niveau de MaxVaR arbitraire,on peut également calculer c MaxVaRpar la formule (2.4). En utilisant le solveur, on peutalors forcer la cellule contenant c MaxVaRà prendre exactement une valeur de c en faisant varierMaxVaR. On trouve alors le tableau 2.8.On affiche ici les décimales de c obtenues par solveur pour rappeler la démarche numérique.La dernière colonne permet de vérifier immédiatement que le seuil MaxVaR est bien plusgrand que la VaR puisque le rapport est strictement supérieur à un. Conformément à la questiona) (lorsque µ = 0), la première et deuxième lignes montrent que MaxVaR 5 % est identiqueà VaR 2,5 % . L’introduction d’une espérance de rentabilité strictement positive diminue25© 2010 <strong>Pearson</strong> France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux
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3 Sur le prix d’un zéro-coupon d
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La formule ( (6.6) peut donc s’in
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puis :d’oùOn a donc :∂ 2 ln A
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le cours du sous-jacent est inféri
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Le commentaire pour les stratégies
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parité obtenue dans l’exercice p
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[ ][ ]30 sept30 septOn a ensuite N
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Ce revenu terminal ne dépend d’a
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avec la N −1 la fonction de répa
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avec d 1 (K p (0)) = 1 2 σ√ T et
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Le delta implique la fonction de r
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La condition ∂ ln v∂ ln S = 2 s
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Exercice 10Solution1 Le prix d’un
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Pour le moment d’ordre deux, on a
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2 Idem 1.3 La formule d’évaluati
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alors estimée en actualisant (sur
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