Corrigés des exercices - Pearson

Chapitre 9Exercice 1SolutionQuestion préliminaire :– Le processus à saut pur est donné par dS tS t= (r − λk) dt + kdq t .– La probabilité d’observer n sauts sur une courte période dt est, d’après l’équation (9.1),évaluée à :Pr [dq t = n] = e−λdt (λdt) n.n!Elle est donc proportionnelle à dt n et considérée comme nulle (par application des règles decalcul stochastique), dès que n est strictement plus grand que 1. On a bien :Pr [dq t = n] ≈ 0, pour n = 2, 3, 4, etc.– La probabilité d’observer un saut sur un instant dt est donnée par :Pr [dq t = 1] = e −λdt λdt.Or, un développement limité de la fonction exponentielle nous apprend que :On a donc :e x = 1 + x + x22! + x33! + ...Pr [dq t = 1] = λdt − (λdt) 2 + (λdt)3 − (λdt)4 + ...2! 3!et les règles de calcul stochastique nous permettent, encore une fois, de simplifier l’expressionen annulant tous les termes dt n où n > 1.– La probabilité de n’avoir aucun saut sur la période [0, t] est obtenue en posant n = 0 dansl’équation (9.1). Sachant que 0! = 1, on obtientPr [q t = 0] = e −λt .Cette probabilité ressemble alors à la formule d’évaluation d’une obligation zéro-coupon d’échéancet, dont le rendement actuariel serait λ 1 .1– La loi de dq t = (q t+dt − q t ) étant identique à celle de (q dt − q 0 ) = q dt , on a :E [dq t ] = E [(q t+dt − q t )] = E [q dt ] = λdt .1 Cette remarque est à l’origine de l’approche dite réduite pour modéliser le risque de défaut.131© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux