Corrigés des exercices - Pearson

3 Sur le prix d’un zéro-coupon d’échéance T.a) Par AOA, une obligation zéro-coupon promettant 1 euro à échéance T ne peut valoir que1β(T). En effet, la valeur de cette obligation ne peut être que le montant que je dois placersur mon compte de capitalisation pour obtenir 1 euro à l’horizon de placement [ T. On a doncp 0 (0, T) β (T) = 1. On trouve alors l’expression recherchée en reprenant exp − ∫ T0]. r (t) dtb) Si on fait tendre T vers l’infini, on a p 0 (0, T) = 0 et si T = 0, on a p 0 (0, 0) = 1. Cesrésultats sont bien conformes aux attentes puisqu’en l’échéance (T = 0), l’obligation est rembourséeet que si elle ne l’est jamais (T = ∞), sa valeur financière sera nulle puisqu’elle neverse aucun revenu.c) Les simulations des prix d’obligations de différentes échéances sont regroupées dans lesgraphiques de la figure 6.2. Les paramètres de la figure 6.1 sont utilisés (attention : l’abscissedoit porter sur T et non sur t comme dans la figure 6.2). On peut remarquer que lorsque letaux d’intérêt instantané futur ici déterministe est systématiquement plus faible (c’est-à-direen toute date), les prix d’obligations sont plus élevés. La décroissance des prix d’obligationszéro-coupon en fonction de la maturité est un phénomène bien connu.Fig. 6.2 : Les prix d’obligations.110,80,80,60,60,40,40,2T0 2,5 5 7,5 10 12,5 150,2T0 2,5 5 7,5 10 12,5 154 Sur les taux d’intérêt spot et la courbe des taux.a) L’approche la plus simple consiste à revenir à la définition d’un taux d’intérêt spot sous uneconvention de taux continu. On a r (0, T) = − 1 Tln p (0, T), où le prix de l’obligation zérocouponp (0, T) est connu. On trouve alors diverses expressions :r (0, T) = θ − (θ − r (0)) 1 − e−κT, (6.3)κT= r (0) 1 − e−κT+ θ(1 − 1 − )e−κT, (6.4)κTκT= r (0) + (θ − r (0))[1 − 1 − ]e−κT(6.5)κT84qui ne mettent pas en évidence les mêmes effets.b) Lorsque T tend vers l’infini, e −κT et 1−e−κTκTs’approchent de 0 et r (0, T) tend vers θ (ona lim T→∞ r (0, T) = θ). Dans un monde déterministe, la valeur de long terme vers laquelle© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux