Corrigés des exercices - Pearson

Dans le repère (0, E [R] , σ), il s’agit d’une fonction de la forme σ 2 P = f (E [R P]). Il faut savoiren tirer partie judicieusement. Passons maintenant en revue les trois cas de figure.– Lorsque ρ AB = 1, l’expression (1.12) devient une identité remarquable et l’on a alorsσ 2 P = [(1 − x B) σ A + x B σ B ] 2 . Le terme entre crochets étant positif, on a :σ P = (1 − x B ) σ A + x B σ B = σ A + x B (σ B − σ A ) .La volatilité du portefeuille est donc, a minima, celle de l’actif A et elle augmente proportionnellementà x B , jusqu’à atteindre la volatilité σ B . On voit ici que la variance est aussi une fonctionlinéaire de x B . On peut donc exprimer x B en fonction de σ P , σ A et σ B . On a x B = σ P−σ Aσ B −σ A.En insérant cette valeur dans l’équation (1.11) ci-dessus, on trouve :E [R P ] = E [R A ] + σ P − σ Aσ B − σ A(E [R B ] − E [R A ]) .Lorsque ρ AB = 1, les portefeuilles réalisables avec A et B sont décrits par l’équation d’unedroite de la forme E [R P ] = a + bσ P . Sachant qu’une seule droite passe par deux points etque nous savons qu’elle passe par A et B, l’ensemble des portefeuilles réalisables est donc parfaitementcaractérisé 3 E[R. On peut noter que a = E [R A ]−σ B ]−E[R A ]A σ B −σ Aet b = E[R B]−E[R A ]σ B −σ A.– Lorsque ρ = −1, l’expression (1.12) est également une identité remarquable. On a σ 2 P =[(1 − x B ) σ A − x B σ B ] 2 = [σ A − x B (σ A + σ B )] 2 . Et le terme entre crochets n’est plus nécessairementpositif ; il s’annule même lorsque x B =σ Aσ A +σ B. Le portefeuille correspondantprésente alors la variance la plus petite possible (puisqu’elle elle est nulle) et son espérancede rentabilité est E [R A ] +σ Aσ A +σ B(E [R B ] − E [R A ]). On peut donc repérer trois points particuliersde l’ensemble des portefeuilles réalisables. Lorsque x B < σ Aσ A +σ B, le terme entrecrochet σ A − x B (σ A + σ B ) est positif et la variance σ 2 P = [σ A − x B (σ A + σ B )] 2 donneσ P = σ A − x B (σ A + σ B ). On a x B = σ A−σ Pσ A +σ B, d’où :E [R P ] = E [R A ] + σ A − σ Pσ A + σ B(E [R B ] − E [R A ])= a ′ − b ′ σ P ,avec a ′ (E[R= E [R A ] + σ B ]−E[R A ])A σ A +σ Bet b ′ = E[R B]−E[R A ]σ A +σ > 0. L’ensemble des portefeuillesσréalisables avec A et B (dont la proportion investie dans B est inférieure à Aσ A +σ B) est dont unedroite de pente négative qui passe par l’actif A et le portefeuille de variance nulle. Lorsquex B > σ Aσ A +σ B, le terme entre crocher σ A − x B (σ A + σ B ) est négatif. On a donc σ P =−σ A + x B (σ A + σ B ) soit encore x B = σ A+σ Pσ A +σ Bd’où :E [R P ] = E [R A ] + σ P + σ Aσ A + σ B(E [R B ] − E [R A ])= a ′ + b ′ σ P .L’ensemble des portefeuilles réalisables avec A et B (dont la proportion investie dans B estσsupérieure à Aσ A +σ B) est une droite de pente positive qui passe par l’actif B et le portefeuillede variance nulle.3 Les lecteurs ayant déjà étudié les fonctions paramétriques auront pu directement déduire ce résultat de la linéaritédes coordonnées du portefeuille P.13© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux