Corrigés des exercices - Pearson

implicite est calculée comme dans le chapitre précédent.sigma 22,36 % 22,36 % 22,36 % 22,36 % 22,36 %mu_J 80,00 % 90,00 % 100,00 % 110,00 % 120,00 %sig_J 20,00 % 20,00 % 20,00 % 20,00 % 20,00 %lambda 1 1 1 1 1k -20 % -10 % 0 % 10 % 20 %mu_lnJ -25,35 % -12,95 % -1,96 % 7,90 % 16,86 %sig_lnJ 24,6 % 22,0 % 19,8 % 18,0 % 16,6 %Total Var 0,1749 0,1150 0,0896 0,0888 0,1058Volatilité naïve 22,36 % 22,36 % 22,36 % 22,36 % 22,36 %Volatilité totale 41,82 % 33,91 % 29,93 % 29,79 % 32,53 %BSM + vol naïve 7,535 7,535 7,535 7,535 7,535BSM + vol totale 12,884 10,710 9,617 9,578 10,331Merton 11,462 9,961 9,267 9,407 10,278Volatilité implicite 36,64 % 31,18 % 28,66 % 29,17 % 32,34 %Plusieurs éléments méritent d’être formulés. Premièrement, on a bien obtenu des primes d’optionscohérentes avec nos attentes dans la mesure où les prix sont bien des fonctions croissantesde la volatilité totale. Deuxièmement, on constate que négliger totalement la présence de sauts(en utilisant la volatilité σ − dite naïve, qui ne tient pas compte des sauts) fait prendre desrisques importants puisque l’on obtient un seul prix là où les différents contextes en justifientplusieurs. Cette posture (peut-être involontaire) n’est véritablement tenable que si les sautspossèdent une taille attendue nulle. Si on réussit à estimer la volatilité totale (par exemple surdes données historiques), on constate une amélioration de la performance numérique de lasimple formule de BSM. L’erreur commise est asymétrique puisque l’on voit une différenceplus grande pour k = −20 % (12,884 vs 11,462) que pour k = 20 % (seulement 10,331 vs10,278). Mais attention ! C’est certes mieux numériquement, mais l’on commet une erreurthéorique de fond.Aux lecteurs avisés : on pourra recommander de recommencer les simulations en fixant lavolatilité totale pour voir dans quelle mesure la variance totale est incapable de rendre comptedu comportement structurel du processus à saut.5 Idem 4.6 La volatilité implicite générée par le modèle est étudiée dans la figure 9.6 sous différents angles.Conformément aux pratiques de marché, une des abscisses retenues est le prix d’exercice expriméen pourcentage du cours coté (voir la section sur l’enjeu dans le chapitre précédent).Nous avons pris soin ici de maintenir la constance de la volatilité totale. On constate quel’augmentation relative de l’incertitude sur la taille du saut augmente la courbure du smile,alors que la taille du saut a un fort impact. Les sauts d’influence positive (k > 0) augmententrelativement plus la valeur des options hors-la-monnaie, ceux d’influence négative la valeurdes options dans la monnaie. Le dernier graphique s’intéresse à l’intensité λ et montre son importance.La valeur maximale envisagée est 4 sauts par an, sachant que l’échéance de l’optionest de 3 mois.Le graphique de gauche représente la volatilité implicite en fonction de l’enjeu de l’optionet de l’incertitude sur la taille du saut (σ ln J ). Le graphique de droite représente la volatilitéimplicite en fonction de l’enjeu de l’option et de la taille moyenne du saut (k). Le graphiquedu bas représente la volatilité implicite en fonction de l’enjeu de l’option et de l’intensité dusaut : le paramètre λ prend des valeurs comprises entre 0 et 4 saut(s) par an.7 Les graphiques de la figure 9.7 illustrent le niveau de la prime de skewness que le modèle mixtede Merton (1976) peut générer. La ligne droite correspond au cas où la taille moyenne des137© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux