Corrigés des exercices - Pearson

Exercice 4Solution1 Le vega atteint son maximum lorsque sa dérivée par rapport à S s’annule. On doit résoudre :∂vega∂S = 0, ou de manière équivalente ∂(Sn[d 1])∂S= 0, soit encore)∂(Se − 1 2 d2 1 (S) = 0.∂SOr :)∂(Se − 1 2 d2 1 (S)∂S= e − 1 2 d2 1 (S) − Sd 1 (S) e − 1 2 d2 1 (S) ∂d 1 (S),∂Sen utilisant l’indication de l’énoncé. En notant que ∂d 1(S)∂S= 1σS √ et en simplifiant d 1(S)T1, on obtient :ln (S vega /K) +(r + 1 )2 σ2 T = σ 2 T.On trouve bien S vega = K exp [ − ( r − 1 2 σ2) T ] .σ √ T =La question est en fait très mal formulée, il y a un piège ! En effet, les options de vente etd’achat admettent certes le même vega, mais leurs primes ne sont pas identiques. L’optiond’achat vaut :[call = S vega N σ √ ]T − 1 K exp [−rT]2et le put :Il suffit d’insérer :put = 1 [2 K exp [−rT] − Svega N −σ √ ]T .ln (S vega /K) + rT = 1 2 σ2 Tdans les expressions de d 1 et d 2 .2 Plusieurs approches sont possibles pour trouver le cours spot tel que ∂Γ ∣∂S S=Sgamma = 0. Legamma étant relié au vega par la formule Γ = 1∂ΓσS 2 Tv, on a∂S = −2σS 3 T v + 1 ∂vσS 2 T ∂S. Il suffitdonc de trouver la valeur S gamma telle la fonction −2 v S + ∂v∂Ss’annule. On remarque que :∂v/v ∂ ln v= 2 ⇐⇒∂S/S ∂ ln S = 2.En reprenant la définition de v (et en négligeant les termes de ln v non fonction de ln S), ontrouve :]∂ ln v ∂ ln[Se − 1 2 d2 1 (ln S)∂ ln S = ∂ ln S= ∂ ln S∂ ln S − 1 ∂d 2 1 (ln S)2 ∂ ln S1= 1 − d 1 (ln S)σ √ T .123© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux