CorrigÃ©s des exercices - Pearson

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Fig. 6.19 : Les paramètres structurels estimés par maximum de vraisemblance (2)Exercice 4SolutionAvec les valeurs de paramètres considérés, on trouve les structures par terme de taux d’intérêtreprésentées dans les graphiques de la figure 6.20.Fig. 6.20 : Structures par terme des taux d’intérêtθ Q = 7 % θ Q = 5 %8,00%7,00%6,00%5,00%4,00%3,00%2,00%1,00%0,00%0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,008,00%7,00%6,00%5,00%4,00%3,00%2,00%1,00%0,00%0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00Les structures par terme générées sont strictement croissantes, strictement décroissantes, ouéventuellement à bosse (mais pour un jeu de paramètres irréalistes). On vérifie que les structurespar terme convergent bien vers R (0, ∞) = θ Q − σ22κ, soit par exemple2(20 %)27 %−2= 7 %− 0,042. Keller-Ressel et Steiner (2008) montrent que la courbe est strictementcroissante (ou normale) si r 0 θ Q − σ2κ, strictement décroissante si r 2 0 θ Q et à bossedans les autres cas. On peut le vérifier ici.94© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux
Exercice 5SolutionUne idée consiste à représenter sur un graphique non la prime, elle-même, mais la proportionque représente cette prime dans la valeur du taux d’intérêt forward. On peut alors définir lafonction prop(T) = π(0,T)f(0,T ). En exploitant les formules nécessaires du cours et les valeurs deparamètres suggérés, on trouve la figure 6.21. On a représenté en trait plein le contexte oùθ = r 0 . Le trait pointillé correspond à la situation où la valeur de long terme θ est soit 10 %supérieure à r 0 (graphique de gauche) soit 10 % inférieure (graphique de droite). On retrouvedans la figure 6.25 la forme des courbes de la figure 6.2 (dans le livre). La figure 6.21 permetnéanmoins de dire que la prime de terme explique jusqu’à 8 % de la valeur du taux d’intérêtforward. Lorsque le prix du risque λ est inférieur à λ 0 , on constate que la proportion peutêtre négative. L’augmentation ou la diminution du taux spot instantané peut augmenter oudiminuer la prime, selon le contexte.Fig. 6.21 : Les primes de terme dans le modèle de Vasicek (1977)86θ = r 0 (1 + 10 %) θ = r 0 (1 − 10 %)86Proportion42Λ⩵1.1Λ 0Λ 0 ⩵Σ2ΚProportion42Λ⩵1.1Λ 0Λ 0 ⩵Σ2Κ002Λ⩵0.9Λ 02Λ⩵0.9Λ 00 5 10 15 20 25 300 5 10 15 20 25 30TTUne autre mesure peut être envisagée. Il s’agit de la prime relative η (0, T) = π(0,T )E P [r T ]quipermet d’écrire f (0, T) = E P [r T ] (1 + η (0, T)).Exercice 6SolutionSolution courte : la formule d’évaluation (6.7) nous apprend que le prix à la date t = 0d’une obligation zéro-coupon est donné par la formule :( ∫ T)]p (0, T) = E[expQ − r s ds . (6.6)0La somme des taux d’intérêt futurs sur la période [0, T] ( ∫ T0 r sds) est une variable aléatoirenormale dans l’univers objectif (Ω, F, P), dont les deux premiers moments sont (6.13) et (6.14).On sait que le passage de (Ω, F, P) à (Ω, F, Q) ne change pas la nature du comportement dutaux instantané. Cela reste un processus stochastique admettant un retour à la moyenne etune volatilité constante. Seul le paramètre θ devient θ Q .95© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux
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avec o (x) un terme négligeable. O
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7 Vous allez devoir estimer 200 ren
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Exercice 4Solution⎛⎞0, 01000 0,
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Fig. 1.1 : Les enveloppes de portef
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⎛portefeuille M : E [R M ] = 9, 8
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Dans le repère (0, E [R] , σ), il
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où λ est le multiplicateur de Lag
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Notons qu’il n’existe pas d’e
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La première expression démontre q
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pointe vers la droite (et donc les
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changement de variable N −1 [u] =
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fort. Le coefficient d’asymétrie
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Chapitre 3Exercice 1Solution1 La mi
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On trouve évidemment des valeurs i
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estimer σ 2 t. On peut d’ailleur
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La figure 3.4 compare trois volatil
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