CorrigÃ©s des exercices - Pearson

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La figure 3.4 compare trois volatilités conditionnelles : celle fournie par l’estimateur de varianceEWMA avec λ = 94 %, celle fournie avec l’estimateur de variance EWMA avecλ = 98 % et, enfin, celle fournie par l’estimateur glissant (1 mois).Fig. 3.4 : Volatilités conditionnelles mesurées par l’estimateur EWMA.6,00%EWMA (94%) Glissant 1 mois EWMA (98%)5,00%4,00%3,00%2,00%1,00%0,00%01/02/199901/02/200001/02/200101/02/200201/02/200301/02/200401/02/200501/02/200601/02/200701/02/200801/02/2009Les volatilités ne sont pas annualisées.Le graphique suggère que l’estimateur glissant et l’estimateur EWMA (λ = 94 %) sont les plusproches. Mais le premier fournit, semble-t-il, la volatilité conditionnelle la plus volatile.2 Pour étudier la densité empirique, il convient :( )riσ MV( )riσ i– de calculer les rentabilités réduites et standardisées obtenues en divisantchaque rentabilité par la volatilité inconditionnelle ou bien conditionnelle ;– d’utiliser la fonction histogramme des Outils d’Excel (déjà utilisée dans le chapitre précédent).42On trouve alors la figure 3.5. Les différentes courbes de densité empirique sont en cloche(comme le serait celle d’une variable aléatoire de loi normale). On représente donc aussi ladensité normale par une courbe régulière en gras. Cette figure suggère que les rentabilitésstandardisées se comportent d’une manière plus conforme à la loi normale que ne le font lesrentabilités réduites(rtσ MV). Conclusion : prendre en compte la variabilité conditionnelle desrentabilités peut permettre d’expliquer une partie de leur non-normalité.Pour tester cette intuition, on peut mener un test de Bera-Jarque (déjà mis en oeuvre et discutédans le chapitre 2). Le tableau 3.1 montre que la distribution des rentabilités (réduites) estplutôt symétrique, mais qu’elle possède un fort kurtosis (plus de 8), bien au-delà de celui de laloi normale. La statistique de Bera-Jarque rejetterait d’ailleurs fortement toute hypothèse denormalité. Les mêmes calculs menés sur les rentabilités standardisées montrent que la priseen compte de la variance conditionnelle fait chuter le kurtosis. La présence de ce dernier dansles rentabilités brutes pourrait donc être la manifestation d’une variance conditionnelle nonconstante. Attention : les variances conditionnelles fournies par les estimateurs EWMA et© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux
Fig. 3.5 : Distributions empiriques des rentabilités réduites ou standardisées.9,00%8,00%7,00%6,00%5,00%4,00%3,00%2,00%1,00%0,00%-3,5-3,1-2,7-2,3-1,9-1,5-1,1-0,7-0,30,10,50,91,31,72,12,5EWMA (94%) EWMA (98%) Glissant 1 moisR réduitesDensité Normale2,93,3glissant ne suffisent pas à obtenir la loi normale. La statistique du test de Bera-Jarque (bienque plus faible) repousserait là encore l’hypothèse de normalité dans les trois cas étudiés…Tab. 3.1 : Distributions empiriques des rentabilités réduites ou standardiséesRentabilitésRentabilités standardisées(réduites) EWMA(94 %) EWMA(98 %) GlissanteSkewness -0,17 -0,15 -0,21 -0,17Kurtosis (en excès) 5,19 -0,19 0,71 0,01Test de B.-J. 3 205,4 15,1 81,7 13,73 Pour déterminer le lambda optimal sur nos données, il convient :a) de mettre en œuvre l’équation (3.7) du livre pour une valeur arbitraire de λ (par exemple95 %) ;b) de mesurer l’écart quadratique de prévision entre r 2 i et σ2 i (par exemple, par [ r 2 i − σ2 i] 2) ;c) de faire la somme des écarts quadratiques sur l’ensemble des données, conformément àl’équation (3.8) du livre.d) de lancer le solveur comme décrit dans la figure 3.6 (je vous laisse faire « envoi »).Vous devriez obtenir λ opt = 90, 83 % pour une erreur de prévision totale √ G (λ opt ) =√0, 0916 % ≈ 3 %.Exercice 6Solution1 En prenant l’espérance du processus de variance décrit par l’équation (3.15) de l’énoncé, onobtient :E [h t ] = c + aE [ ε 2 t−1]+ bE [ht−1 ] .Sachant que E [ ε 2 t]= E [ht ] pour tout t (voir N.B.), on a E [h t ] = c + (a + b) E [h t−1 ] . Si43© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux
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La figure 8.2 confirme les résulta
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Le delta implique la fonction de r
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La condition ∂ ln v∂ ln S = 2 s
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Exercice 10Solution1 Le prix d’un
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2. Le cours de l’action est supé
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alors estimée en actualisant (sur
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Fig. 9.10 : Histogramme des prix ob
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