Corrigés des exercices - Pearson

La formule ( (6.6) peut donc s’interpréter comme un calcul de moyenne (la moyenne deexp − ∫ )(T0 r sds ), la variable exp − ∫ )T0 r sds étant une variable aléatoire log-normale. Enexploitant l’indication de l’énoncé, on a :[ ∫ T]p (0, T) = exp[E Q − r (t) dt + 1 [ ∫ T]]02 varQ − r (t) dt ,0avec (en substituant θ Q = θ + λ σ κà θ dans (6.13) et (6.14)) :[∫ t]E Q 1 − e −κt (r s ds = r 0 + θ Q t − 1 − e−κt0κκ[∫ t] (var Q r s ds = σ2 1 − e−κt0 2κ κ)) 2 (+ σ2κ 2 t − 1 − e−κtκSolution longue : on peut vouloir retrouver les moments (6.13) et (6.14). Pour cela, il suffitde reprendre la dynamique de r dans (Ω, F, P) et de poser y t = e κt r t . Les rêgles de calculstochastique nous apprennent que :dy t = d ( e κt r t)= e κt dr t + κe κt r t dt.Il n’y a pas de termes supplémentaires car y est de variation quadratique est nulle. En insérantla définition de dr t , on trouve :et, en intégrant, on a :dy t = e κt κθdt + σe κt dW P t ,).y T = y 0 + κθ∫ T0∫ Te κt dt + σ e κt dWtP0e κT r T = r 0 + θ ( e κT − 1 ) ∫ T+ σ e κt dWtP0r T = r 0 e −κT + θ ( 1 − e ) ∫ T −κT + σ e −κ(T−t) dWt P .0On a E P [r T ] = r 0 e −κT + θ ( 1 − e ) [ ∫T]−κT car E P 0 e−κ(T−u) dWuP = 0. L’intégrale stochastiqueest assimilable à une somme de termes e −κ(T −u) dWu P dont l’espérance est nulle.On a donc :[∫ T] [ (∫ T) 2]var P [r T ] = var P e −κ(T−u) dWuP = σ 2 E P e −κ(T−u) dWuP .00Si l’intégrale stochastique est assimilable à une somme, sa variance est la somme (et doncl’intégrale) des variances de chaque terme e −κ(T−u) dW P u (on sait que var P [ dW P u]= du) plusla somme (et donc l’intégrale) des covariances des termes e −κ(T−u) dW P u. Les accroissementsdW P u (qui ne se chevauchent pas) étant indépendants, les covariances sont nulles. On a donc :96var P [r T ] = σ 2 ∫ T0= σ 2 ∫ T0e −2κ(T−u) var [ ]P dWuPe −2κ(T−u) du = σ2 ( ) 1 − e−2κT.2κ© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux