Corrigés des exercices - Pearson

Si (a > 0 et b > 0) et (a + b < 1), alors on a a < 1 et b < 1.2 Si σ 2 =c1−a−b , alors on a c = σ2 (1 − a − b) et les deux expressions en découlent immédiatement.La première nous apprend que la variance conditionnelle de la date t est une moyennepondérée de σ 2 , de la variance conditionnelle de l’instant précédent et du choc informationnel(au carré) de l’instant précédent. La seconde :h t = σ 2 + a ( ε 2 t−1 − σ 2) + b ( h t−1 − σ 2) ,mérite plus de commentaires. Si on suppose que le niveau σ 2 est fixé, alors on peut discuterl’expression précédente au travers de plusieurs situations.– Si les termes ( h t−1 − σ 2) et ( ε 2 t−1 − σ 2) sont simultanément nuls, cela signifie que lavariance conditionnelle à la date t − 1 vaut h t−1 = σ 2 et que le choc informationnel est «dans la norme » des chocs dans le sens où ε 2 t−1 = σ 2 . La variance conditionnelle reste alorségale à σ 2 (puisque h t = σ 2 ). Il n’existe aucune raison en fait que cette variance signale unmouvement particulier de l’actif.– Si ε 2 t−1 − σ 2 = 0 mais que ( h t−1 − σ 2) ≠ 0, on a ( h t − σ 2) = b ( h t−1 − σ 2) et onpeut en déduire deux éléments. Le premier est que h t reste supérieure (ou inférieure) à σ 2 sih t−1 l’est déjà, puisque b est un nombre positif. Le second est que l’écart entre la varianceconditionnelle h t et la variance inconditionnelle σ 2 se réduit à la date t par rapport à l’instantprécédent (t − 1), puisque b < 1. On a en effet ∣ ∣ ht − σ 2∣ ∣ < b∣∣ht−1 − σ 2∣ ∣ > σ), alors la varianceconditionnelle s’écartera de la variance inconditionnelle σ 2 .3 θ = a+b s’interprète comme la persistance de la variance conditionnelle. L’expression (3.17)de l’énoncé nous apprend que :c = σ 2 (1 − θ)et, si θ = a + b > 81 %, alors on peut écrire que (1 − θ) < 0, 09, soit encore √ 1 − θ < 0, 3.Autrement dit, on peut garder en tête qu’en situation classique, la racine carrée de c est limitéeet vérifie :√ c = σ (1 − θ)