Corrigés des exercices - Pearson

Fig. 6.6 : Simulations de trajectoires du taux d’intérêt instantané selon le modèle de Vasicek.La formule discrétisée est donnée par :r t+∆t − r t = κθ∆t − κr t ∆t + σ √ ∆tε t+∆t .Dans la dernière colonne, en date 2, on trouve 5,93 % en effectuant le calcul :r 2 = 6 % + 1 × (9 % − 6 %)√1 1360 + 2 % (−0, 744) = 5, 93 %.360On peut alors reproduire cette formule sur 720 jours, puis comparer ces résultats avec ceuxassociés à θ = 3 % (en utilisant les mêmes valeurs simulées). Avec le même jeu de donnéessimulées, on trouve alors les graphiques de la figure 6.7. Les courbes régulières en pointillésont associées à la tendance déterministe (σ = 0). Les autres trajectoires sont obtenues pourune volatilité égale à 0,5 %, 1 % et 2 %. Conformément aux attentes, le taux d’intérêt fluctued’autant plus que le paramètre de la volatilité augmente. Comme l’illustre le graphique àdroite, la volatilité peut permettre d’atteindre le niveau de long terme plus rapidement. Letaux d’intérêt instantané ne pourra pas s’y maintenir, du fait de la présence de chocs.Le graphique 6.8 représente différentes trajectoires obtenues avec le même jeu de variablessimulées. Les trajectoires reflètent parfaitement l’impact de la force de rappel. Lorsque κ = 0,on ne constate aucune convergence, mais à mesure que la valeur de κ augmente, le tauxd’intérêt converge plus rapidement vers sa valeur de long terme θ. Pour κ = 10, la convergenceest assez rapide, même si la volatilité induit par la suite une incertitude.2 D’un point de vue financier, le changement d’un seul paramètre peut poser problème dans lamesure où l’on change la modélisation du taux d’intérêt instantané futur d’une manière noncontrôlée. Si l’espérance E [r ∞ ] = θ n’a pas changé, l’écart-type (SD r∞ = √ σ r2κ) n’est plusle même selon les spécifications. Pour les différents niveaux de volatilité et la figure 6.8, ontrouve respectivement 0,00 %, 0,35 %, 0,71 % et 1,41 %. Pour les différents niveaux de forcede rappel et la figure 6.9, on trouve respectivement 0,82 %, 0,50 % et 0,22 %. Clairement, onchange de registre.On peut vouloir comparer des trajectoires du processus d’Ornstein-Uhlenbeck dont les paramètresinduiraient la même espérance et la même variance du taux d’intérêt instantané de longterme. Il suffit de choisir SD r∞ et de fixer κ et on en déduit, par la formule SD r∞ = √ σ r2κ, queσ r = SD r∞√2κ. La figure 6.9 illustre le propos avec θ = 9 %, SDr∞ = 0, 5 % et κ = 0, 75,2 ou 10.87© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux