CorrigÃ©s des exercices - Pearson

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Fig. 8.5 : Les principaux grecs en fonction de la valeur du sous-jacent et pour différentes durées jusqu’à échéance.charmvanna0.010T-t=10j0.6T-t=10j0.0050.43mCharm0.000-0.0051m3mVanna0.20.0-0.21m-0.010-0.440 60 80 100 120 140 160K-0.640 60 80 100 120 140 160K0.004speedT-t=10j0.003colorT-t=10jSpeed0.0020.0001m3mColor0.0020.0011m3m-0.0020.000-0.004-0.00640 60 80 100 120 140 160volgaK-0.00140 60 80 100 120 140 160Kzomma40T-t=3m0.0510j1m300.00Volga201mZomma-0.05T-t=3m1010j-0.10040 60 80 100 120 140 160K-0.1540 60 80 100 120 140 160K– Le zomma qui est la sensibilité du gamma à un changement de la volatilité. On voit que lesoptions hors la monnaie ont un gamma qui augmente la volatilité 7 .Tous ces paramètres permettent de choisir ou de favoriser certaines options parmi d’autreslorsque l’on a des anticipations particulières sur les mouvements de paramètres. Ils renforcentnéanmoins l’idée que la gestion d’une option particulière est un exercice subtil, dès lors quel’on souhaite adopter une démarche dynamique.1227 Les traders utilisent ce paramètre pour contrôler les effets de la volatilité stochastique que nous verrons dans le prochainchapitre.© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux
Exercice 4Solution1 Le vega atteint son maximum lorsque sa dérivée par rapport à S s’annule. On doit résoudre :∂vega∂S = 0, ou de manière équivalente ∂(Sn[d 1])∂S= 0, soit encore)∂(Se − 1 2 d2 1 (S) = 0.∂SOr :)∂(Se − 1 2 d2 1 (S)∂S= e − 1 2 d2 1 (S) − Sd 1 (S) e − 1 2 d2 1 (S) ∂d 1 (S),∂Sen utilisant l’indication de l’énoncé. En notant que ∂d 1(S)∂S= 1σS √ et en simplifiant d 1(S)T1, on obtient :ln (S vega /K) +(r + 1 )2 σ2 T = σ 2 T.On trouve bien S vega = K exp [ − ( r − 1 2 σ2) T ] .σ √ T =La question est en fait très mal formulée, il y a un piège ! En effet, les options de vente etd’achat admettent certes le même vega, mais leurs primes ne sont pas identiques. L’optiond’achat vaut :[call = S vega N σ √ ]T − 1 K exp [−rT]2et le put :Il suffit d’insérer :put = 1 [2 K exp [−rT] − Svega N −σ √ ]T .ln (S vega /K) + rT = 1 2 σ2 Tdans les expressions de d 1 et d 2 .2 Plusieurs approches sont possibles pour trouver le cours spot tel que ∂Γ ∣∂S S=Sgamma = 0. Legamma étant relié au vega par la formule Γ = 1∂ΓσS 2 Tv, on a∂S = −2σS 3 T v + 1 ∂vσS 2 T ∂S. Il suffitdonc de trouver la valeur S gamma telle la fonction −2 v S + ∂v∂Ss’annule. On remarque que :∂v/v ∂ ln v= 2 ⇐⇒∂S/S ∂ ln S = 2.En reprenant la définition de v (et en négligeant les termes de ln v non fonction de ln S), ontrouve :]∂ ln v ∂ ln[Se − 1 2 d2 1 (ln S)∂ ln S = ∂ ln S= ∂ ln S∂ ln S − 1 ∂d 2 1 (ln S)2 ∂ ln S1= 1 − d 1 (ln S)σ √ T .123© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux
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Corrigés des exercices
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avec o (x) un terme négligeable. O
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7 Vous allez devoir estimer 200 ren
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Exercice 4Solution⎛⎞0, 01000 0,
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⎛portefeuille M : E [R M ] = 9, 8
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Dans le repère (0, E [R] , σ), il
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Au total, on trouve :σ 2 P = 1 (N
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où λ est le multiplicateur de Lag
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Notons qu’il n’existe pas d’e
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La première expression démontre q
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pointe vers la droite (et donc les
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fort. Le coefficient d’asymétrie
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Chapitre 3Exercice 1Solution1 La mi
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On trouve évidemment des valeurs i
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estimer σ 2 t. On peut d’ailleur
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La figure 3.4 compare trois volatil
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L’égalité (1) vient de la norma
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La structure par terme de volatilit
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Exercice 9SolutionOn va estimer les
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soit encorep (t 0 + 1, t 0 + 16) =
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la rente perpétuelle demande un mo
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Les taux d’intérêt spot et forw
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Exercice 6Solution1 Cette obligatio
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On pourra vérifier l’égalité d
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avec une valeur de u de un. La somm
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