Corrigés des exercices - Pearson

2 Idem 1.3 La formule d’évaluation de Merton (1976) nous apprend que la prime d’option est une sommeinfinie de primes individuelles :∞∑ e −λ′T (λ ′ T) n√c 0 =call(S BSM 0 , σn!2 + n T σ2 ln J , r − λk + n T ln ( 1 + k )) .,n=0Évidemment, il n’est pas réalisable de prendre une somme infinie de termes. On va donc enprendre autant que nécessaire (jusqu’à ce que les termes omis deviennent négigeables). La figure9.5 évalue l’importance des dix premiers termes de la série. On a utilisé les valeurs deparamètres précédents avec µ J = 120 %. On considère ici des échéances de 1 mois, 3 mois, 6Tmois, 1 an et 2 ans. On observe sur le graphique en haut à gauche que les poids ( e−λ′ (λ ′ T) nn!)décroissent rapidement pour les échéances de court terme. Le graphique en haut à droite( ∑ n e −λ′ T(λ ′ T) kk=0 k!) montre que peu de termes suffisent à capter 80 % des scénarios possibles.La valeur croissante des prix (d’options) pondérés donne néanmoins de l’importance àdes scénarios peu probables, comme le montre les graphiques en bas :T( e−λ′ (λ ′ T) n√n!call(S BSM 0 , σ 2 + n T σ2 ln J , r − λk + n T ln ( 1 + k )) ). L’intérêt marginal d’ajouterun terme de plus au-delà de 10 reste néanmoins faible, la formule de Merton (1976)ne sera donc pas développée plus loin.Fig. 9.5 : Une décomposition de la formule de Merton (1976).Les poids de la formule (µ J =120 %)Pr[q T =n]1.00.80.60.40.2T=1/123/126/1212Somme desnpremierspoids1.00.80.60.40.2120.00 2 4 6 8n0.00 2 4 6 8nPr[q T =n]654321Les prix pondérésµ J = 120 % µ J = 80 %00 2 4 6 8nPr[q T =n]1086421200 2 4 6 8n1364 Les prix d’options et les volatilités implicites sont donnés dans le tableau suivant. La volatilité© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux