Corrigés des exercices - Pearson

Le delta implique la fonction de répartition de la loi normale. Le delta des options d’achat etde vente est croissant avec le cours spot du sous-jacent (sa pente est positive). Le gamma desoptions 2 sera donc positif. Les valeurs absolues des deltas des options dans la monnaie (S t > Kpour les calls et S t < K pour les puts) sont plus grandes que celles des options hors la monnaie(S t < K pour les calls et S t > K pour les puts). Ces premières seront donc plus sensibles queces dernières. Parmi les options les plus sensibles (calls et puts), la sensibilité 3 est plus grandelorsque la durée de vie du contrat est courte. Parmi les options les moins sensibles (calls etputs), la sensibilité est plus grande que la durée de vie du contrat est longue. Lorsque la duréede vie restante des options est faible, la pente la plus forte du delta correspond au point oùl’option est, très approximativement, à la monnaie 4 . L’étude du gamma devrait répondreprécisément à cette question. Le delta des options change de convexité (le gamma sera donccroissant, puis décroissant).– Le gamma des options est identique pour les puts et les calls. C’est un paramètre positifqui, comme prévu par l’analyse du delta, est d’abord croissant en fonction de S t ; il atteintensuite un maximum avant de décroître. On pourra trouver ce maximum analytiquement.Le graphique du gamma montre déjà que celui-ci peut être très éloigné de la position ATMlorsque la durée de vie du contrat s’allonge.– Le vega, lui, est toujours positif. Les options sont donc bien des fonctions croissantes de lavolatilité. Pour les paramètres utilisés, on observe même que la sensibilité est d’autant plusgrande que la durée de vie résiduelle est importante 5 . La sensibilité à la volatilité diminue dèsque l’option s’éloigne de la monnaie. L’achat d’options ATM sera donc privilégié, lorsque l’onanticipera une hausse de la volatilité.– Le thêta est négatif pour les options d’achat, négatif ou positif pour les options de vente.Autrement dit, toutes choses étant égales par ailleurs, le prix d’une option d’achat décroîtnaturellement à mesure que le temps passe. La situation est plus délicate pour l’option de vente.Lorsqu’elle est hors la monnaie, sa sensibilité au temps qui passe est négative. Lorsqu’elleest bien dans la monnaie (deep in the money), l’option de vente peut avoir un thêta positif, cequi signale une propension à voir sa valeur augmenter à mesure que l’on se rapproche del’échéance. La baisse de la durée de vie de l’option diminue la probabilité de voir, dans le futur,le cours de l’action remonter. Cette propriété est à rapprocher d’un phénomène rencontrédans le chapitre 7 où la valeur du put européen pouvait être inférieure à sa valeur intrinsèque.Notons, pour fnir, que le graphique de droite est un simple translation du graphique de gauche,puisqu’en dérivant par rapport au temps la formule de parité call/put, on obtient :∂p (S t ; t)∂t= ∂c (S t; t)∂t+ rKe −r(T−t) .– Le rho est un paramètre de gestion positif pour les calls et négatif pour les puts. L’impact dutaux d’intérêt (r) sur la prime des calls est intuitivement l’un des plus délicats à appréhender.D’un côté, r représente la rentabilité (arithmétique) attendue de l’action dans l’univers risque1202 Vu comme la sensibilité du delta par rapport à S3 La sensibilité ici est la valeur absolue du delta.4 Ce n’est plus vrai lorsque l’échéance est plus éloignée.5 Voir la note de bas de page précédente.© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux