Corrigés des exercices - Pearson

Chapitre 2Exercice 1Solution1 Si la rentabilité est normale, on a R˜N ( µ, σ 2) , soit encore R = m + σ.Z,avec Z une variablealéatoire de loi normale centrée réduite N (0, 1). La définition de la valeur en risque sur larentabilité P [R −R c (T)] = c donne alors :P [µ + σ.Z −R c (T)] = c,[]soit encore P Z −R c(T)−µσ= c. Si N est la fonction de répartition de la loi normale[ ]centrée réduite, on a donc N −Rc % (T)−µ= c. Puisque l’on sait inverser la fonction derépartition 1 , on a −R c %(T)−µσ= N −1 (c), soit encore :σR c % (T) = −µ − N −1 (c) σ. (2.1)On en déduit également une formule pour la VaR relative. On a R relativec % (T) = R c % (T) +µ = −N −1 (c) σ. En cas de normalité, la valeur en risque relative des rentabilités est doncproportionnelle à la volatilité. Ce dernier résultat constitue à la fois un inconvénient et unintérêt du cadre gaussien.2 La démonstration est immédiate si on revient à la définition de la VaR relative. Pour deuxniveaux de confiance c et d quelconques, on a R relativec (T) = −N −1 (c) σ et R relatived(T) =−N −1 (d) σ. La première équation implique que −σ = Rrelative c (T)N −1 (c), que l’on peut insérer dansle terme de droite de la seconde équation.3 La démonstration est simple en l’absence d’autocorrélation des rentabilités successives. Si lesrentabilités journalières successives sont issues d’une même loi normale et si elles ne sont pascorrélées entre elles, alors elles sont indépendantes et identiquement distribuées. L’on peutobtenir directement la VaR(n jours). On pose n = 10 et la rentabilité à 10 jours s’écrit :( ) (P10 P10R 0 (10) = ln = ln × ... × P )1=P 0 P 9 P 010∑i=1On a donc E [R 0 (10)] = ∑ 10i=1 E [R i−1 (1)] = 10E [R (1)] et :σ 2 R(10) = var [R 0 (10)] =10∑i=1( )Piln =P i−110∑i=1R i−1 (1) .var [R i−1 (1)] = 10σ 2 R(1) (2.2)puisque les rentabilités journalières ont la même variance et leurs covariances sont nulles deuxà deux. Cette expression implique σ R(10) = √ 10σ R(1) et on a :R relativec (10 j) = −N −1 (c) σ R(10) = −N −1 (c) √ 10σ R(1) = √ 10R relativec (1 j) .181 Voir les tables de la loi normale, votre tableur ou bien votre logiciel favori.© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux