Corrigés des exercices - Pearson

Exercice 10Solution1 Le prix d’une option est de 3, 5075 euros. Vous avez donc obtenu 35 075 euros de cette vente.Le delta de cette option est ∆ = N [d 1 (S 0 )] = 0, 535 et son gamma est Γ = 0, 048.2 On construit un portefeuille ∆-neutre en adossant, à la position courte dans le call, une positionlongue (un achat) dans n 0 actions sous-jacentes. La valeur d’un portefeuille ∆-neutre estréputée insensible aux mouvements (limités) du cours de l’actif sous-jacent.À la date 0, le portefeuille ∆-neutre contient la position courte dans le call et une positionlongue dans l’actif. On a :Π 0 = + 10 000 × c } {{ } 0 − 10 000 × n 0 × S 0 ,} {{ }cash issu de la vente achat d’actionsavec c 0 le fruit de la vente d’une option à la date initiale. Le cours nous apprend que le nombred’actions n 0 à acheter est donné par le delta de l’option d’achat, soit ∆ = 0, 535. La valeurde notre portefeuille (sans autre opération) est donnée par :Π 0 = 35 075 − 10 000 × 0, 535 × 100= 35 075 − 535 000= −499 925.Le portefeuille présente un découvert que l’on peut financer par emprunt aux conditions demarché (taux d’intérêt i). On a :Π financé0 = + 10 000 × c 0 } {{ }cash issu de la vente= −499 925 + 499 925 } {{ } .− 10 000 × n S × S } {{ } 0achat d’actionssomme empruntée = E 0+ 10 000 × (n 0 S 0 − c 0 )} {{ }somme empruntée = E 0Comme conseillé dans le cours, nous privilégierons désormais le portefeuille de duplication,qui sera rebalancé une fois par semaine. Il est censé couvrir les variations de la position courte.On a, à la date 0 :10 000 × c 0 = 10 000 × n 0 × S 0 − E 0 .3 À la date 1 en fin de semaine, le cours est monté jusqu’à S 1 = 105. La position courte dansl’option est évaluée à :(10 000 × c 1 S 1 = 105; K = 100, τ = 3 )= 63 109.52Malgré la hausse du cours de S 1 , la diminution de la durée de vie baisse le prix de l’option. Il nereste que trois semaines avant échéance ( 3 52). Juste avant modification, la valeur du portefeuillede duplication est donnée par :10 000 × n 0 × 105 − E − 1 ,128avec E − 1 = E 0 × (1 + i∆t) la somme due au titre de l’emprunt sur une semaine (∆t = 152 ).(n 0 S 0 − c 0 ) i∆t est le montant des intérêts à payer sur la première période ∆t. Cette sommes’ajoute à la dette existante.© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux