Corrigés des exercices - Pearson

La première expression démontre que la sensibilité est positive. La seconde montre que cettesensibilité dépend du risque relatif de chaque titre dans le portefeuille ( σ AσPet σ Bσ P) et du poidsrelatif qu’ils représentent (x A et x B ) .2 On trouve la figure 2.1.Fig. 2.1 : La valeur en risque d’un portefeuille à deux actifs en fonction de leur corrélation et de leur proportion relative7,006,005,00VaR_5%4,003,002,001,000,510,0010,90,80,7x_A0,60,50,40,30,20,10-1-0,50rho3 Si σ A et σ B sont identiques et le portefeuille équipondéré (autrement dit x A = x B = 1 2), alorson obtient σ P = √ σ √21 + ρ et VaRc = − √ σ √21 + ρN −1 [c] et la sensibilité devient :∂VaR c∂ρ= − σN−1 [c]2 √ 2 √ 1 + ρ = VaR c2 (1 + ρ) > 0.On retrouve le signe positif mais on met en lumière ici la sensibilité est d’autant plus faibleque le coefficient de correlation est fort. Autrement dit, la pente de la courbe du graphique2.1 diminue dans l’axe de la corrélation.Exercice 3SolutionL’équation (2.21) du livre impliquant ∂˜R α (T )∂α= σ ∂N−1 [α]∂α, il reste à calculer la dérivée deN −1 [α]. L’astuce consiste à remarquer que N [ N −1 [α] ] = α et qu’en dérivant à gauche età droite par rapport à α, on obtient n ( N −1 [α] ) × ∂N−1 [α]∂α= 1, avec n (x) = √ 12πe − x22 ladensité de la loi normale centrée réduite. On en [ déduit immédiatement ] le résultat recherché.1σ √ 2π∂˜R α (T)∂αLa figure 2.2 représente la fonction A [α] = lnen fonction de α. On en déduitque la sensibilité de la VaR est impactée par α de manière non linéaire.21© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux