Corrigés des exercices - Pearson

Ce revenu terminal ne dépend d’aucune condition.Il s’agit de la valeur d’un portefeuille quicontient une action et un placement de cash sur un compte rémunéré. La valeur actuelle dece portefeuille est S 0 − Ke −rT et c’est aussi la valeur de la combinaison d’options. On a :c 0 − p 0 = S 0 − Ke −rT .N.B. : S T − K est aussi le revenu à échéance d’une position longue dans un contrat à termed’échéance T et de prix de livraison K. Une position longue dans un contrat à terme est unengagement ferme d’acheter à la date T l’actif à un prix de livraison donné, disons K. On saitque ce dernier est évalué à S t − Ke −r(T −t) à la date t 5 .Exercice 6SolutionOn sait que la probabilité risque-neutre est donnée par N [d 1 ] avec :d 1 = ln (S 0/K) + ( r − 1 2 σ2) Tσ √ .TLa démonstration est simple. On part de la définition de la probabilité d’être à la monnaie :[Q [V T K] = Q V 0 e (r− 1 2 σ2 )T+σ √ ]T v T K(7.2)et on travaille l’expression jusqu’à isoler complètement v T , la variable aléatoire. Autrementdit :– On divise par V 0 à droite et à gauche :Q [V T K] = Q[e (r− 1 2 σ2 )T+σ √ Tv T K ].V 0– On applique la fonction logarithme ln à droite et à gauche :Q [V T K] = Q[(r − 1 )2 σ2 T + σ √ ]Tv T ln (K/V 0 ) .– On soustraie ( r − 1 2 σ2) T à droite et à gauche :[Q [V T K] = Q σ √ Tv T ln (K/V 0 ) −(r − 1 ) ]2 σ2 T .– On divise par σ √ T à droite et à gauche :[Q [V T K] = Qv T ln (K/V 0) − ( r − 1 2 σ2) Tσ √ T].1105 À la signature, sa valeur est même nulle car le prix de livraison est choisi de manière à ce que K = S t e r(T−t) .© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux