Corrigés des exercices - Pearson

avec la N −1 la fonction de répartition inverse. On retrouve bien le résultat recherché. On peuteffectuer des simulations du résultat pour les valeurs S 0 = 100, K = 120, σ = 30 %, µ = 10 %et r = 3 %. La figure 7.7 accueille les résultats.Fig. 7.7 : Comparaison entre P [V T K], Q [V T K].1100%0,880%P[V_T>K]0,60,460%40%0,220%00 0,2 0,4 0,6 0,8 1Q[V_T>K]0%0 1 2 3 T 4 5 6 7La courbe en trait plein correspond à la probabilité objective de finir dans la monnaie P [V T K],la courbe en pointillés à la probabilité risque-neutre Q [V T K].Exercice 7SolutionLe problème ici est l’organisation du calcul de la dérivée numérique∂ 2 c (K)∂K 2=c (K − ∆K) − 2c (K) + c (K + ∆K)∆K 2(qu’il faudra multiplier par e rT ). Il convient de s’organiser rigoureusement. Pour chaque valeurde densité calculer en K, il faut calculer trois primes d’option de BSM celles de strike K, K−∆Ket K + ∆K. On posera ∆K = 1 ou 0,1. Attention, la volatilité change à chaque option.On trouve la figure 7.8 et on observe sur la droite un des inconvénients de l’approche. Essayezde trouver les autres !Exercice 8112Solution1 Les prix d’exercice se situent de part et d’autre du prix à terme dont la valeur est S 0 e rT . Lefacteur multiplicatif (1 + x) étant plus grand que 1, le strike K c (x) est supérieur au prix àterme (qui est lui-même supérieur au prix spot S 0 ). L’option est hors la monnaie forward et1hors la monnaie (tout court). Le facteur multiplicatif1+x est plus petit que 1 et le strike K p (x)est donc plus petit que le prix à terme (on a 11+x≈ 1 − x lorsque x est petit).2 Si x = 0 alors K c (0) = S 0 e rT et K p (0) = S 0 e rT , les prix d’exercice sont identiques. De plus,© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux