Corrigés des exercices - Pearson

V (R), on trouve V ′ (R) = −CR 2 . La duration est doncD perpetHicks− (1 + R)= V ′ (R) =V (R)= V(R)C− (1 + R) −11RR2 = 1 + RR .+ 1 et tirer trois enseignements de ce résultat :On peut vérifier ainsi que D perpetHicksa) La duration des rentes perpétuelles ne dépend pas de leur revenu !b) Les rentes perpétuelles de même rendement actuariel ont toutes la même duration.c) La duration des rentes perpétuelles à revenu fixe unitaire est une fonction simple de leurprix. On doit simplement diviser leur prix par leur revenu annuel et ajouter 1.d) La duration des rentes perpétuelles ne peut être inférieure à 1 an. Pour des taux de rendementactuariel inférieurs à 10 %, elle sera supérieure à 11 ans.3 La convexité est donnée par1V(R)d 2 V(R)dR. Puisque d2 V(R)2dR= 2C2 R, on a :3C perpetHicks = 1C/R[ 2CR 3 ]= 2 R 2 .Dans notre contexte, on trouve 2 × 25 2 = 2 × 625 = 1 250. La convexité d’une renteperpétuelle ne dépend donc pas du niveau des revenus qu’elle verse.Exercice 3Solution1 Le tableau devient :Valeur FacialeCOUPON COUPON COUPON1000 8 % 8 % 8 % 10 % 10 % 10 % 12 % 12 % 12 %Taux d'actualisation 7,00 % 8,00 % 9,00 % 9,00 % 10,00 % 11,00 % 11,00 % 12,00 % 13,00 %Échéance1 74,766 74,074 73,394 91,743VA(Flux)90,909 90,090 108,108 107,143 106,1952 69,875 68,587 67,334 84,168 82,645 81,162 97,395 95,663 93,9783 65,304 63,507 61,775 77,218 75,131 73,119 87,743 85,414 83,1664 61,032 58,802 56,674 70,843 68,301 65,873 79,048 76,262 73,5985 57,039 54,447 51,995 64,993 62,092 59,345 71,214 68,091 65,1316 53,307 50,414 47,701 59,627 56,447 53,464 64,157 60,796 57,6387 49,820 46,679 43,763 54,703 51,316 48,166 57,799 54,282 51,0078 46,561 43,222 40,149 50,187 46,651 43,393 52,071 48,466 45,1399 43,515 40,020 36,834 46,043 42,410 39,092 46,911 43,273 39,94610 549,017 500,249 456,204 464,652 424,098 387,403 394,447 360,610 329,939Prix Obligation 1 070,24 1 000,00 935,82 1 064,18 1 000,00 941,11 1 058,89 1 000,00 945,74variation absolue 70,24 -64,18 - 64,18 - 58,89 - 58,89 - - 54,26variation relative 7,02 % 0,00 % -6,42 % 6,42 % 0,00 % -5,89 % 5,89 % 0,00 % -5,43 %En analysant les variations absolues et relatives, on conclut que plus le taux de coupon estfaible, plus la variation de 1 % des rendements a d’impact sur les obligations. Normal ! Lechoc ∆Y considéré est relativement plus important pour l’obligation à coupon 8 % placéedans un environnement à Y = 8 %, que pour l’obligation à coupon 10 % placée dans unenvironnement de rendement à 10 %.On pourrait refaire l’exercice avec un choc de taux proportionnel au niveau de taux, parexemple ∆Y = 10 % × Y. Mais le résultat serait inversé et assez difficile à appréhender. Lerendement de la première obligation à coupon 8 % devient en effet 7,2 % pendant que celui del’obligation à coupon 12 % devient 10,8 % soit une baisse bien supérieure (en valeur absolue).72© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux