CorrigÃ©s des exercices - Pearson

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⎛ ⎞19, 1 %on doit poser X 10 % = ⎜ 35, 6 %⎟⎝ 47, 7 % ⎠ . On doit donc investir 102,4 % de notre richesse dans−2, 4 %des actifs risqués. Cela nécessite que l’on prenne une position courte dans le placement sansrisque (on vend le placement sans risque). On peut ainsi calculer les compositions et les coordonnéesde nombreux portefeuilles de rentabilités espérées allant de 3 % à 12,5 %. En reliantces portefeuilles représentés dans le repère (0, σ, E [R]), on trouve la droite en trait plein.Fig. 1.2 : La frontière efficiente en présence d’un placement sans risque.14,00 %12,00 %10,00 %8,00 %6,00 %4,00 %2,00 %0,00 %0,00 % 2,00 % 4,00 % 6,00 % 8,00 % 10,00 % 12,00 % 14,00 % 16,00 %2 Pour étudier la composition du portefeuille de titres risqués, calculons le poids relatif des titresrisqués les uns par rapport aux autres. Lorsque C r = 3, 5 %, on constate que les titres risqués3,4 %ne représentent que 7,3 % du portefeuille total. Mais, l’action Z représente1−92,7 ⎛ % = 46, 6 %du portefeuille « actions ». En reproduisant le calcul pour X et Y, on trouve ⎝ 18, 7 % ⎞34, 7 % ⎠. Et,46, 6 %si l’on reproduit le calcul pour ⎛ toutes ⎞les valeurs arbitraires C r , on retrouve exactement les18, 7 %mêmes proportions( !), soit ⎝ 34, 7 % ⎠. En fait, on aurait dû s’y attendre par le théorème de46, 6 %séparation du cours ! En présence d’un actif sans risque, le portefeuille de titres risqués à considérerest le portefeuille M, dit de marché. Merton nous apprend même que ses coordonnéessont :1U ′ 3 Σ−1 3 (R 3 − r f U 3 ) Σ−1 3 (R 3 − r f U 3 )10si l’indice « 3 » précise ⎛ que l’on ne retient que les informations liées aux 3 titres risqués. On a(R 3 − r f U 3 ) = ⎝ 6 % − r ⎞ ⎛⎞f0, 01000 0, 00360 0, 003007 % − r f⎠, Σ 3 = ⎝ 0, 00360 0, 01440 0, 00720 ⎠.11 % − r f 0, 00300 0, 00720 0, 022503 La première approche suggérée est directe. Elle nous donne les coordonnées suivantes pour le© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux
⎛portefeuille M : E [R M ] = 9, 84 % ( ( 18, 7 % 34, 7 % 46, 6 % ) ⎝ 6 % ⎞7 % ⎠) et σ M = 10, 14 %.11 %Mais il est également possible d’instrumentaliser la définition de la pente E[R]−r f ) ′σ= (XCr R−r √f(X Cr ) ′ VX Crque l’on cherchera à maximiser avec le solveur en faisant varier C r . On trouvera de façon intermédiairela composition du portefeuille de marché X C r. Le document Excel vous montrecomment procéder. On trouve le même résultat que précédemment (aux erreurs d’arrondisnumériques près).Exercice 6Solution1 La mise en œuvre est typiquement :1. Calcul numérique effectué pour construire l'enveloppe5,0% On cherche à minimiser la vol'du portefeuille sous contraintesX1 107,4% a- de budgetX2 18,6% b- de rentabilité attendue fixée.X3 -26,0%Somme x_i 1,00E[R] 5,00%vol 11,23%On pourra se reporter au document Excel.2 En insérant une contrainte de plus, on trouve :2. Calcul numérique pour construire l'enveloppe sous interdiction de vente à découvert6,0% 6,5% 7,0% 7,5% 8,0% 8,5% 9,0% 9,5% 10,0% 10,5% 11,0% 11,5% 12,0%X1 100,0% 83,3% 70,7% 61,5% 52,4% 43,2% 34,0% 24,9% 15,7% 6,5% 0,0% 0,0% 0,0%X2 0,0% 16,7% 25,3% 26,9% 28,6% 30,3% 31,9% 33,6% 35,3% 37,0% 33,3% 16,7% 0,0%X3 0,0% 0,0% 4,0% 11,5% 19,0% 26,5% 34,0% 41,5% 49,0% 56,5% 66,7% 83,3% 100,0%Somme x_i 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00E[R] 6,00% 6,50% 7,00% 7,50% 8,00% 8,50% 9,00% 9,50% 10,00% 10,50% 11,00% 11,50% 12,00%vol 10,00% 9,13% 8,69% 8,48% 8,48% 8,69% 9,10% 9,67% 10,39% 11,22% 12,17% 13,43% 15,00%L’ajout d’une contrainte supplémentaire diminue le nombre de portefeuilles envisageables.L’enveloppe est légèrement modifiée dans notre contexte. Notez qu’elle peut l’être beaucoupsignificativement.Fig. 1.3 : Impact de l’interdiction de vente à découvert sur la forme de l’enveloppe14,00 %12,00 %10,00 %8,00 %6,00 %4,00 %2,00 %0,00 %8,00 % 10,00 % 12,00 % 14,00 % 16,00 %11© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux
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puis :d’oùOn a donc :∂ 2 ln A
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le cours du sous-jacent est inféri
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Le commentaire pour les stratégies
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[ ][ ]30 sept30 septOn a ensuite N
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Ce revenu terminal ne dépend d’a
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avec la N −1 la fonction de répa
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Chapitre 8Exercice 1Solution1 La fi
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La figure 8.2 confirme les résulta
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Le delta implique la fonction de r
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Fig. 8.5 : Les principaux grecs en
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La condition ∂ ln v∂ ln S = 2 s
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Exercice 8Solution1 Prix et princip
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Exercice 10Solution1 Le prix d’un
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2. Le cours de l’action est supé
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Pour le moment d’ordre deux, on a
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2 Idem 1.3 La formule d’évaluati
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Fig. 9.6 : Volatilité implicite et
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alors estimée en actualisant (sur
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Fig. 9.10 : Histogramme des prix ob
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