Corrigés des exercices - Pearson

– à l’écart qui sépare le niveau du taux de sa valeur à long terme (θ − r (t)) ;– à la durée de la période sur laquelle la variation du taux est envisagée et– au paramètre κ.Si (θ − r (t)) est non nul, l’écart dr (t) sera d’autant plus grand que κ est grand. Lorsquer (t) > θ, le taux est supérieur à sa valeur à long terme et la variation dr (t) sera négative.Autrement dit, le taux va diminuer et se rapprocher de θ. À l’inverse, lorsque r (t) < θ, letaux est inférieur à sa valeur à long terme et la variation dr (t) est positive. Le taux d’intérêtspot va augmenter et se rapprocher de θ.La figure 6.1 donne les trajectoires simulées du taux d’intérêt instantané futur pour les paramètressuggérés. La convergence vers le taux de long terme θ se fait soit par en dessous(à gauche), soit par au-dessus (à droite). On constate que la valeur du paramètre κ influencela vitesse de convergence vers θ. Pour la valeur de κ la plus forte, il faut environ 1 an pouratteindre le niveau de long terme. Pour la valeur la plus faible, la convergence est beaucoupplus lente.Fig. 6.1 : Trajectoires simulées du taux d’intérêt spot instantané.10%9%8%7%6%5%4%3%2%0,000,250,500,751,001,251,501,752,00t10%9%8%7%6%5%4%3%2%0,000,250,500,751,001,251,50d) La définition implique que T ∗ vérifie r (T ∗ ) = r 0 + θ−r 02= r 0+θr 0 + θ−r 02et r (T ∗ ) = r (0) e −κT ∗ + θ ( )1 − e −κT ∗ = θ + (r (0) − θ) e−κT ∗ , on trouve :1,752,00t2. En égalisant r (T ∗ ) =r 0 + θ − r 0= θ + (r (0) − θ) e −κT ∗ ⇐⇒ (θ − r 0 ) e −κT ∗ = (θ − r 0 ) − θ − r 0.22Soit T ∗ = − 1 κ ln [ ]12 . Si on veut généraliser l’approche à une fraction différente de12, il fautconsidérer un terme x strictement plus petit que 1 et revenir à l’énoncé du problème en posantr 0 + x (θ − r 0 ) = θ + (r (0) − θ) e −κT ∗ (x) . On trouve T ∗ (x) = − 1 κln [1 − x].e) Considérons maintenant le niveau du taux d’intérêt spot à la date t + ∆t. Appliquée à r (t)et r (t + ∆t), l’équation (6.1) nous apprend queLa première équation donne :r (t) = θ − (θ − r (0)) e −κt ,r (t + ∆t) = θ − (θ − r (0)) e −κt e −κ∆t .82θ − r (0) = (θ − r (t)) e κt ,© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux