Corrigés des exercices - Pearson

Exercice 3Solution1 Un portefeuille à (N S + 1) actifs contient, notamment, un portefeuille de N S actifs noté A etun actif noté B dans des proportions respectives x A et x B . La rentabilité ex ante du portefeuilleest donc définie par ˜R P = x A˜RA + x B˜RB , d’après l’expression (1.7) du livre. La contrainte debudget impose que x A + x B = 1. Posons x = x A et donc x B = 1 − x. La volatilité (au carré)du portefeuille est alors donnée par :σ 2 P = x 2 σ 2 A + (1 − x) 2 σ 2 B + 2x (1 − x) ρ AB σ A σ B .En ajoutant et en soustrayant 2x (1 − x) σ A σ B , on fait apparaître une identité remarquableet un terme strictement négatif dès lors que le coefficient de corrélation ρ AB est négatif 2 .On a :σ 2 P = (xσ A + (1 − x) σ B ) 2 − 2 (1 − ρ AB ) x (1 − x) σ} {{ }A σ B .>0 dès que ρ AB 0 et 1 − x > 0),le terme entre crochets est positif. On peut donc prendre la racine carrée et σ P < xσ A +(1 − x) σ B . Le risque du portefeuille est bien inférieur à la moyenne pondérée des risquesindividuels.2 L’effet « diversification » peut être mesuré par la différence entre le risque réel du portefeuilleet le risque moyen. Plusieurs mesures sont donc envisageables. La première consiste à calculerσ P − xσ A + (1 − x) σ B . La seconde effectue un calcul du même type, mais en insistantsur la notion de variance σ 2 P − (xσ A + (1 − x) σ B ) 2 . La dernière serait de prendreσ 2 P − ( xσ 2 A + (1 − x) σ2 B), mais les sources de confusion sont ici multiples. La seconde approcheadmet une expression analytique (−2 (1 − ρ AB ) x (1 − x) σ A σ B ), mais l’on préfèrera,de loin, retenir la première approche car le résultat numérique est plus aisément interprétable.3 Deux approches (au moins) sont envisageables pour montrer ce résultat. On vous les proposeici et on vous conseille de ne retenir que celle qui vous convient. Premièrement, si l’on reprendN Sl’expression σ 2 P = ∑ ∑N Sx i x j cov(R i , R j ), on peut noter que :i=1 j=1⎡⎤⎛∑N S∑N S∑N S∑N Sσ 2 P = x i⎣ x j cov (R i , R j ) ⎦ = x i cov ⎝R i ,i=1peut calculer ∂σ P∂x ij=1i=1directement, en remarquant que ∂σ P∂x ij=1⎞∑N Sx j R j⎠ == ∂σ P∂σ 2 Pi=1x i cov (R i , R P ) ,la seconde égalité utilisant la linéarité de la covariance. En divisant à droite et à gauche del’inégalité par σ P , on trouve le résultat attendu (équation (1.9) du livre). Deuxièmement, on∂σ 2 P∂x i= 1 ∂σ 2 P2σ P ∂x i. Puisque :on obtient bien ∂σ P∂x i∂σ 2 ∑N SP= 2 x j cov (R i , R j ) = 2cov (R i , R P ) ,∂x ij=1= ∂σ P ∂σ 2∂σ 2 PP ∂x i= cov(R i,R P )σ P.62 On rappelle que les identités remarquables sont au programme du collège.© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux