Corrigés des exercices - Pearson

tend r (t), le taux d’intérêt instantané, sert également à fixer la rémunération des obligationsdont l’échéance est très lointaine... Ce résultat n’est pas aussi immédiat qu’il n’y paraît (on doitse souvenir que toutes ces rémunérations sont annualisées).c) Dans la figure 6.3, on peut vérifier cette convergence du taux d’intérêt spot (rendementactuariel des obligations zéro-coupon) à mesure que l’échéance augmente.Fig. 6.3 : Structure par terme des taux d’intérêt.9%9%8%8%7%7%6%6%5%5%4%4%3%T0 5 10 15 20 25 303%0 5 10 15 20 25 T 305 Sur les taux d’intérêt forward instantanés.a et b) Les taux d’intérêt forward instantanés se définissent par f (0, T) = ∂[T×r(0,T)]∂T. On peutdonc écrire :f (0, T) = θ − (θ − r (0)) e −κT= r (0) + (θ − r (0)) ( 1 − e −κT )= r (0) e −κT + θ ( 1 − e −κT )= r (T) .Si nécessaire, on vient de rappeler que, dans un contexte déterministe, les taux d’intérêt forwardsont égaux aux futurs niveaux du taux d’intérêt instantané ! Comme prévu par la théoriedes anticipations rationnelles, les taux d’intérêt forward constituent bien des prédicteurs performantsdes niveaux de taux futurs.c) En cherchant à exprimer les taux d’intérêt forward en fonction de taux d’intérêt spot, ontrouve :f (0, T) = r (0, T) − (θ − r (0))[e −κT − 1 − ]e−κT.κTOn déduit que f (0, T) sera inférieur à r (0, T) si et seulement si θ > r (0) et κTe −κT +e −κT −1 > 0, ou bien si et seulement si θ < r (0) et κTe −κT +e −κT −1 < 0. Or, comme 1+κT < e κTest toujours vérifié pour tout κ et T, on a κT < e κT − 1 et donc κTe −κT < 1 − e −κT . On enconclut que f (0, T) < r (0, T) ⇐⇒ θ < r (0). De même, on a f (0, T) > r (0, T) ⇐⇒ θ >r (0). On illustre ce résultat dans la figure 6.4.85© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux