CorrigÃ©s des exercices - Pearson

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parité obtenue dans l’exercice précédent. De même, les options digitales de type asset-or-nothingsont évaluées par les formules :c dig,A/N0 (S 0 , K, T) = e −rT E Q [ S T 1 {ST K}]= S0 N [d 1 ] etp dig,A/N0 (S 0 , K, T) = e −rT E Q [ S T 1 {ST K}]= S0 N [−d 1 ] ,qui apparaissent également dans la formule de BSM.3 Un portefeuille qui contient une position longue dans une action S et une position courte dansune option d’achat sur S d’échéance T et de prix d’exercice K s’évalue :ptf 0= S 0 − c BSM0 ,avec c BSM0 la prime de l’option selon la formule de BSM. On a :ptf 0= S 0 − S 0 N [d 1 ] + Ke −rT N [d 2 ]= S 0 (1 − N [d 1 ]) + Ke −rT N [d 2 ]= S 0 N [−d 1 ] + Ke −rT N [d 2 ] .On aurait pu également actualiser les flux futurs ptf 0 = e −rT E Q [ptf T] avec :{ K si ST Kptf T=S T si S T K .On aurait obtenu le même résultat. Pour le portefeuille qui contient une position longue dansune action S et une position longue dans une option de vente sur S d’échéance T et de prixd’exercice K, les flux à échéance sont :{ST si Sptf T=T KK si S T K .On a alors :ptf 0= e −rT E Q [ptf T] = S 0 N [d 1 ] + Ke −rT N [−d 2 ] .On aura reconnu les expressions asssociées aux options digitales.4 La stratégie d’écart d’options d’achat haussier avec <strong>des</strong> calls s’évalue :c 0 (S 0 , K 1 , T) − c 0 (S 0 , K 2 , T) = S 0 (N [d 1 (K 1 )] − N [d 1 (K 2 )])−e −rT (K 1 N [d 2 (K 1 )] − K 2 N [d 2 (K 2 )]) . (7.1)106Cette solution est obtenue parce qu’en AOA, la valeur de la stratégie égalise celle du portefeuillequi la duplique. On peut aussi évaluer directement le pay-off de la stratégie qui apparaîtdans le tableau de l’exercice et on trouveBear Spread 0= e −rT E [ ]Q (S T − K 1 ) 1 {K1
L’égalité 2 a tenu compte du fait que le terme (K 2 − K 1 ) est connu et que l’espérance d’unefonction indicatrice d’un événement est égale à sa probabilité. Analysons maintenant le termede l’espérance d’un point de vue financier. Ce terme (S T − K 1 ) 1 {K1
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Corrigés des exercices
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avec o (x) un terme négligeable. O
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7 Vous allez devoir estimer 200 ren
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Exercice 4Solution⎛⎞0, 01000 0,
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Fig. 1.1 : Les enveloppes de portef
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⎛portefeuille M : E [R M ] = 9, 8
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Dans le repère (0, E [R] , σ), il
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Au total, on trouve :σ 2 P = 1 (N
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où λ est le multiplicateur de Lag
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Notons qu’il n’existe pas d’e
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La première expression démontre q
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pointe vers la droite (et donc les
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3 On trouve le tableau 2.7.Tab. 2.7
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changement de variable N −1 [u] =
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fort. Le coefficient d’asymétrie
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Fig. 2.7 : Détermination graphique
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Chapitre 3Exercice 1Solution1 La mi
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On trouve évidemment des valeurs i
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estimer σ 2 t. On peut d’ailleur
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La figure 3.4 compare trois volatil
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Fig. 3.6 : Recherche du lambda opti
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L’égalité (1) vient de la norma
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La structure par terme de volatilit
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Fig. 3.8 : Volatilité conditionnel
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Exercice 9SolutionOn va estimer les
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Chapitre 4Exercice 1Solution1 On tr
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