Corrigés des exercices - Pearson

Sachant que N [x] est une fonction bijective, il suffit d’étudier d 1 (σ) et d 2 (σ) qui, on devraitle savoir 1 , sont de la forme ( ασ + σ√ T − t ) et ( ασ − σ√ T − t ) . Ces deux termes tendentrespectivement vers +∞ et −∞, lorsque σ tend vers +∞. On a donc :On a bien le résultat recherché.lim N [d 1 (σ)] = 1 et lim N [d 2 (σ)] = 0.σ→+∞ σ→+∞– Le graphique de droite de la figure 8.1 suggère que la prime du put tend vers Ke −r(T−t) ,lorsque σ tend vers de très grandes valeurs. Très logiquement, nous allons démontrer que :lim p (S t; σ) = Ke −r(T−t) .σ→+∞La démonstration la plus directe implique la formule de parité call/put, qui nous apprend que :p (S t ; σ) = c (S t ; σ) − S t + Ke −r(T−t) .En prenant la limite, à gauche et à droite de l’égalité, on obtient le résultat. En effet, en vertudu résultat précédent, on a lim σ→+∞ (c (S t ; σ) − S t ) = 0.4 On s’intéresse d’abord au call, puis au put.– Lorsque σ tend vers 0, la prime du call tend vers :lim c (S t; σ) = S t lim N [d 1 (σ)] − Ke −r(T−t) lim N [d 2 (σ)] .σ→0 σ→0 σ→0Sachant que N [x] est une fonction bijective, on doit étudier d 1 (σ) et d 2 (σ), qui sont de laforme ln(S t/Ke −r(T −t) )σ± βσ. Lorsque σ tend vers 0, d 1 (σ) et d 2 (σ) tendent tous les deuxvers +∞ ou −∞. Cela dépend du signe de ln ( S t /Ke −r(T−t)) . Si ln ( S t /Ke −r(T−t)) estpositif, on a :lim d 1 (σ) = lim d 1 (σ) = +∞.σ→0 σ→0En cas contraire (si S t < Ke −r(T−t) ), la limite sera −∞. La condition ln ( S t /Ke −r(T−t)) >0 revient à dire que S t /Ke −r(T−t) > 1, soit encore S t > Ke −r(T−t) . On a donc :limσ→0 N [d 1 (σ)] = 1{St >Ke −r(T −t) }et, pour finir :etlim N [d 2 (σ)] = 1σ→0 {St >Ke −r(T −t) } ,(lim c (S t; σ) = S t − Ke −r(T −t)) 1σ→0 {St >Ke −r(T −t) } .– Pour traiter le cas des puts, on utilise la formule de parité qui nous apprend que p (S t ; σ) =c (S t ; σ) − S t + Ke −r(T−t) . En prenant la limite, à gauche et à droite de l’égalité et en exploitantle résultat précédent, on obtient :lim p (S t; σ) =σ→0(Ke −r(T−t) − S t)1{St