Corrigés des exercices - Pearson

Tab. 2.8 : Comparaison des VaR et MaxVaRmu sigma c VaR VaR/sigma MaxVaR c (solveur) MaxVaR/sigma MaXVaR/VaR15 % 5,00 % 0,247 1,6449 0,294 4,99993 % 1,9600 1,191615 % 2,50 % 0,294 1,9600 0,336 2,49996 % 2,2414 1,143615 % 1,00 % 0,349 2,3263 0,386 0,99993 % 2,5759 1,10739 % 15 % 5,00 % 0,158 1,0532 0,224 5,00000 % 1,4926 1,41729 % 15 % 2,50 % 0,205 1,3683 0,263 2,49994 % 1,7522 1,28069 % 15 % 1,00 % 0,260 1,7347 0,310 0,99992 % 2,0668 1,191514 % 15 % 5,00 % 0,108 0,7199 0,189 5,00003 % 1,2621 1,753314 % 15 % 2,50 % 0,155 1,0350 0,226 2,49995 % 1,5037 1,452914 % 15 % 1,00 % 0,210 1,4013 0,270 0,99995 % 1,8014 1,2855les deux seuils. L’intuition est que la probabilité d’atteindre un seuil perte est plus faible. Ladiminution est néanmoins moins forte pour MaxVaR que pour la VaR. Il en résulte un rapportMaxVaR /VaR qui augmente. MaxVaR peut être jusqu’à 75 % plus grand que la VaR.Exercice 8Solution1 La démonstration exploite essentiellement la définition :F Rmin [x] = P [R min x] = P [R 1:n x] = 1 − P [R 1:n > x] .Si la plus petite rentabilité est plus grande que x, c’est le cas de toutes les rentabilités. On aF Rmin [x] = 1 − P [R 1 > x; ...; R n > x]. Les rentabilités sont supposées indépendantes ; ontrouve ensuite F Rmin [x] = 1 − ∏ ni=1 P [R i > x]. Elles sont identiquement distribuées doncF Rmin [x] = 1 − P [R 1 > x] n = 1 − (1 − P [R 1 x]) n . La densité du minimum est immédiatementobtenue par dérivation. Notons qu’elle dépend logiquement du nombre de rentabilitésretenues.2 La densité du minimum est représentée dans la figure suivante, dans un contexte gaussien.Cette dernière montre que la pire rentabilité journalière s’aggrave à mesure que l’horizon dedétention totale s’allonge.Exercice 9Solution1 La fonction P&L i individuelle prend les valeurs 1 et −1 avec des probabilités associées 99, 1 %et 0, 9 %. Dans un monde réglementé par la VaR 99 % , on ne serait pas tenu de mobiliserdes fonds propres pour la détention des titres individuels. En effet, le risque de perte étant1 − p < 1 %, les deux VaR 99 % (X i ) sont négatives.2 La valeur d’achat du portefeuille est de 2 euros. Les revenus tirés de celui-ci à la date T sont 0,2 ou 4 euros. La fonction P&L P prend donc les valeurs 2, 0 et -2. Du fait de l’indépendance desévénements, les probabilités associées sont p 2 et 2p (1 − p) et (1 − p) 2 (de valeurs respectives98, 2081 %, 1, 7838 % et 0, 0081 %). La probabilité que la perte soit supérieure ou égale à0 est 0, 0081 % + 1, 7838 % = 1, 7919 %, qui est strictement supérieur à 1 %. 0 n’est doncthéoriquement plus recevable comme VaR 99 % pour le portefeuille ! On a donc :26VaR 99 % (X 1 + X 2 ) > VaR 99 % (X 1 ) + VaR 99 % (X 2 ) .© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux