Corrigés des exercices - Pearson

Exercice 2Solution1 Le paramètre µ J implique, en cas de saut, une variation moyenne du cours de k = µ J − 1.Dans la mesure où le paramètre µ J est soit supérieur, soit inférieur à 1, la variation attenduedu cours sera positive ou négative. µ J > 1 caractérise l’impact d’une information inattenduejugée plutôt bonne.La volatilité de l’action est l’écart-type de sa rentabilité. Le cours nous apprend que la variancede la rentabilité est donnée par :(1t var ln S )t= σ 2 + λ ( µ 2 ln J + σ 2 lnSJ).0L’énoncé nous donne σ 2 et λ. On doit calculer µ ln J et σ 2 ln J(voir la note de bas de page 5).On a :( )σ 2 0, 04ln J = ln 1 +µ 2 et µ ln J = ln ( ( )) 1µ J −J2 ln 0, 041 +µ 2 .JOn trouve :sigma 22,36 % 22,36 % 22,36 % 22,36 % 22,36 %mu_J 80,00 % 90,00 % 100,00 % 110,00 % 120,00 %sig_J 20,00 % 20,00 % 20,00 % 20,00 % 20,00 %lambda 1 1 1 1 1k -20 % -10 % 0 % 10 % 20 %mu_lnJ -25,35 % -12,95 % -1,96 % 7,90 % 16,86 %sig_lnJ 24,6 % 22,0 % 19,8 % 18,0 % 16,6 %On observe que k et µ ln J ont sensiblement la même valeur. Celle de la variance totale est alorsdonnée dans le tableau suivant :Total Var 0,1749 0,1150 0,0896 0,0888 0,1058Volatilité naïve 22,36 % 22,36 % 22,36 % 22,36 % 22,36 %Volatilité totale 41,82 % 33,91 % 29,93 % 29,79 % 32,53 %)Pour démontrer 1 t(ln var S tS 0= σ 2 + λ ( µ 2 ln J + σ2 ln J), il convient de reprendre l’équa-∏q T(tion (9.6). En notant Y T = J n , on a varn=1ln S tS 0)= var(σW t + ln Y t ) = σ 2 t+ var(ln Y t )∑q tavec ln Y t = ln J n . La deuxième égalité provient de l’indépendance entre les deux aléas.n=1Il suffit ensuite de calculer var(Y t ) :var (ln Y t ) = var (E [ln Y t |q t ]) + E [var (ln Y t |q t )]= var ( ) [ ]q t µ ln J + E qt σ 2 ln Jcar les variables ln J i sont des copies de la variable ln J. On a alors :var (ln Y t ) = µ 2 ln Jvar (q t ) + σ 2 ln JE [q t ]= µ 2 ln Jλt + σ 2 ln Jλt.135© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux