Corrigés des exercices - Pearson

lange de prix d’options BSM (qui reposent, elles, sur l’hypothèse de normalité des rentabilités).La distribution de la rentabilité est donc un mélange de loi normale dont les paramètres sedéduisent directement de la formule d’évaluation. Nous avons représenté à gauche les distributionsde rentabilités obtenues, les sauts attendus étant plutôt négatifs (en haut) ou plutôtpositifis (en bas). Les graphiques de droite montrent, eux, que ces distributions sont issues dela superposition de plusieurs distributions qui seront pondérées.Fig. 9.8 : Distribution de la rentabilité.1.21.41.01.20.81.00.60.80.60.40.40.20.20.0-4 -2 0 2 40.0-4 -2 0 2 40.50.40.40.30.30.20.20.10.10.0-4 -2 0 2 40.0-4 -2 0 2 4Exercice 3Solution1 Les valeurs simulées de l’action peuvent s’obtenir par la formule :[ 1S i+1 = S i exp252 r − 1 ]2 σ2 i + σ i ε i ,avec σ i la volatilité (hétéroscédastique) issue d’un processus GARCH(1, 1) dont les paramètresseraient ceux estimés dans l’exercice 7 du chapitre 3. La valeur initiale du processus de varianceest donnée par σ 2 1 = (24,351%)2252, les valeurs suivantes vérifient la relation :σ 2 i = 1, 66.10 −6 + 0, 0832 (σ i−1 ε i−1 ) 2 + 0, 9098σ 2 i−1.L’approche la plus simple consiste alors à générer 5 000 chocs (ε) sur 3 mois (soit 5 000 lignes et60 colonnes de ε), à déterminer ensuite les 5 000 trajectoires de la variance, et enfin à calculerles valeurs de l’action dans chaque scénario. Chaque trajectoire produit une valeur de l’action àl’horizon des 3 mois. On en obtient donc 5 000 : (S 3 mois,i ) i=1,...,5 000. La prime de l’option est139© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux