Corrigés des exercices - Pearson

Exercice 6SolutionPuisque le delta est une fonction régulière de S et de t, que l’on note d’ailleurs ∆ (S t , t), onpeut donc lui appliquer le lemme d’Ito. On trouve :avec :µ ∆(St ,t) = ∂∆(S t,t)∂td∆ (S t , t) = ∂∆ (S t, t)dt + ∂∆ (S t, t)dS t + 1 ∂ 2 ∆ (S t , t)(dS∂t∂S 2 ∂S 2 t ) 2= µ ∆(St ,t)dt + σ ∆(St ,t)dWt S ,+ µ S S t∂∆(S t ,t)∂S+ 1 2 σ2 S S2 ∂ 2 ∆(S t ,t)t ∂S=charm+µ 2S S t Γ + 1 2 σ2 S S2 tspeedσ ∆(St ,t) = σ S S t∂∆(S t ,t)∂S= σ S S t Γ.La tendance du delta est fonction des paramètres de gestion étudiés dans le cours. On voit quele gamma apparaît formellement dans la volatilité du delta.Exercice 7Solution1 Un strangle est une stratégie dont le delta est donné par :∆ strangle = ∆ call + ∆ put = N [d 1 (K c )] − N [−d 1 (K p )] .Dire que la stratégie est delta neutre revient à dire que ∆ strangle = 0 soit encore N [d 1 (K c )] =N [−d 1 (K p )].2 Ce cours spot s’obtient en simplifiant :On trouve : S 0 = √ K c K p e −(r+ 1 2 σ2 )T .N [d 1 (K c )] = N [−d 1 (K p )] .3 La relation précédente en donne également une entre les prix d’exercice. Si on connaît le coursdu spot, le strangle ∆-neutre s’appuie sur des prix d’exercice qui vérifient : K c K p = S 2 0e (2r+σ2 )T .4 Si on considère un straddle, alors on a une condition supplémentaire que K c = K p et le strike àchoisir est K c = S 0 e (r+ 1 2 σ2 )T . Le delta est alors :⎡ ( {})N ⎣ ln S 0 / S 0 e (r+ 1 2 σ2 )T+ ( r + 1 2 σ2) ⎤Tσ √ ⎦ = N [0] = 0, 5T( {})car ln S 0 / S 0 e (r+ 1 2 σ2 )T= − ( r + 1 2 σ2) T.125© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux