CorrigÃ©s des exercices - Pearson

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Exercice 5Solution1 On trouve :D eff,3 = −1 + YP (0, T; Y)P (0, T; Y + h) − P (0, T; Y − h).2hLes trois dérivées numériques proposées correspondent à des approximations à gauche, àdroite et centrées de la valeur de la dérivée analytique. Intuitivement, leur performance devraits’améliorer à mesure que h devient petit. En outre, la troisième dérivée numérique devrait êtrela plus performante puisque D eff,1 et D eff,2 devraient encadrer la « vraie » duration.2 La mise en oeuvre des trois formules donne :h -1,00 % -0,50 % -0,01 % 10,00 % 0,01 % 0,50 % 1,00 %Prix 1064,18 1031,39 1000,61 1000,00 999,39 969,93 941,11Duration Macauley 6,759024Duration 1 6,478155 6,616250 6,756121Duration 2 6,761928 6,906678 7,059423Duration 3 (+/- 1 %) 6,768789Duration 3 (+/- 0,5 %) 6,761464Duration 3 (+/- 0,01 %) 6,759025Comme attendu, on constate que la duration numérique est d’autant plus performante (c.-à-d.proche de la duration de Macauley) que h est petit. La duration effective D eff,3 reste la plusefficace.3 L’emploi de la formule permet d’obtenir une bonne approximation de la « vraie » duration,même en ayant recours à des prix d’obligations très éloignés.-1,00 % -0,50 % 10,00 % 0,50 % 1,00 %Prix 1064,18 1031,39 1000,00 969,93 941,11Duration Macauley 6,759024Duration 4 6,759022Exercice 6Solution1 Question préliminaire : vous obtiendriez une richesse égale à W H = P (1 + Y) H .2 En notant t = 0 la date d’aujourd’hui, le prix de l’obligation est donné par :P (0, T, Y) =N∑i=1C(1 + Y) t i + F(1 + Y) T .763 Si vous décidez de détenir cette obligation jusqu’en H, vous pourrez la revendre à la date Het retirer le fruit du placement de tous les coupons reçus sur le compte rémunéré (au taux Y).Si on place chacun des h coupons reçus jusqu’à H sur un compte rémunérant Y, on obtientpour chaque coupon C (1 + Y) H−t i, avec t i la date de réception du coupon. On a doncau total ∑ hi=1 C (1 + Y)H−t i. La revente du titre, auquel il reste (N − h) coupons, apporte© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux
∑ Ni=h+1C(1+R) t i −H +F(1+Y) T −H . En conclusion, le portefeuille rapporte :[ h] [∑∑ NW H = C (1 + Y) H−t i+i=1= P (0, T, Y) × (1 + Y) H .i=h+1En supposant que T = 10, on peut représenter la situation par :FluxC(1 + R) t i−H + F(1 + Y) T−H ]H−1H−2H−3H−410−H9−H8−H7−HCFCCCCCCCCC12345H678910Échéances4 La sensibilité de votre richesse à un mouvement de taux est donnée par :dW HdYdP (0, T, Y)= × (1 + Y) H + P (0, T, Y) × H (1 + Y) H−1} dY {{ }− D(1+Y) P(0,T ,Y)= P (0, T, Y) (H − D) (1 + Y) H−1 ,où l’on a inséré la duration de Hicks. On voit que si votre horizon de placement H correspondà la duration de l’obligation, alors votre richesse W H en H sera insensible à un mouvement dutaux actuariel. Mais attention ! Ce résultat dépend de votre capacité à réinvestir les couponsau taux Y.5 S’il est envisageable de réinvestir les coupons au même taux, le résultat précédent vous incitefortement à choisir l’obligation dont la duration D est la plus proche de H.77© 2010 Pearson France – Synthex Finance de marché – Franck Moraux
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La première expression démontre q
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pointe vers la droite (et donc les
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