o método dos elementos de contorno aplicado à ... - Sistemas SET

onde:
( )
⎛ ∂
⎜
⎝ ∂x ∂x
2 wq
i j
⎞
⎟
⎠
e
é a solução sem considerar momentos iniciais, dada por (4.48).
0
Denominado-se o segundo termo da equação (5.14), de Ι ,ij (q), tem-se:
0 0 *
(q) ( )
Ι ,ij
2
∂
=
∂x ∂x
∫
i j
onde o termo w, kl
* é dado por:
Ω
M ( p) w, ( q, p) dΩ( p)
kl kl
w
w q P
x x qP
2
* ∂ * 1
, kl ( , ) = ( , ) = , k , l+ kl ln
∂ ∂ 4πD
k l
( r r δ r)
A primeira derivada de w, kl
* em relação a xi é dada por:
[ δ ik r, l δ lir, k δ klr, i r, k r, r l l , i]
88
(5.15)
(5.16)
3
∂ w*( q, p)
*
1
w, kli ( q, p)
= = − + + −2
(5.17)
∂x ∂x ∂x 4πDr
k l i
0
Como pode-se observar a expressão de Ι ,ij(q)
apresenta singularidades. A fim de
eliminar tais singularidades, a mesma será calculada considerando o procedimento
apresentado por MIKHLIN (1962), o qual também foi adotado por BUI (1978), TELLES &
BREBBIA (1979), RIBEIRO (1992) e CHUEIRI (1994).
Assim, a primeira derivada w, kli
* pode ser calculada de forma normal no integrando,
0
pois não ocorrem singularidades fortes. Portanto, pode-se escrever Ι ,ij,
na seguinte forma:
0 *
(q) ∫ ( kl kli )
Ι ,ij
∂
∂
= M p w q p d p =
∂x
∂x
Vq
0
( ) , ( , ) Ω(
) ( )
j
Ω
j
(5.18)
A integral V(q), indicada em (5.18), possui singularidade no domínio Ω, portanto
deve-se verificar a possibilidade de diferenciação do núcleo desta integral. Assim, supõe-se
que, do domínio Ω, é retirado um domínio circular Ωc, onde está a singularidade, de pequeno
raio ε e com origem no ponto fonte q, definindo-se o domínio Ωε = Ω - Ωc, conforme a
figura (5.1). Assim, a integral Vε(q) no domínio Ωε é dada por: