o método dos elementos de contorno aplicado à ... - Sistemas SET

Desse modo, a segunda derivada pode ser expressa por:
∂ ∂
w, ij =
∂ ∂θ θ
r r ⎛
⎞
⎜ , i+ , i⎟
⎝
⎠
∂ ∂
∂ ∂θ θ
w
r r
⎛ w ⎞
⎜ , j+ , j⎟
(i, j = 1,2) (2.31)
⎝
⎠
Desenvolvendo-se as derivadas, obtém-se:
∂w
⎛ ∂r,
2
j ⎞ ∂ w
( r r ) ⎜ , i ( r, i θ, j r,
j θ,
i)
2
∂ w
w,
ij = , i , j +
2
∂r
∂r
⎝
( θ, i θ,
j)
∂θ θ
2
∂ w ∂w
⎛ ∂θ ∂θ
+ + ⎜ +
2
∂θ
∂θ ⎝ ∂r
∂
r
, j ,
, i
r
⎟ + + +
⎠ ∂∂θ r
j
22
⎞
θ,
⎟ i
(2.32)
⎠
Para os casos em que o problema apresenta simetria em relação à origem do sistema
de coordenadas, como ocorre no problema fundamental de placas, o deslocamento w é
função apenas de r, já que não varia com θ. Nesse caso, considerando-se as equações (2.27)
e (2.28), w, ij é dada por:
2
dw ⎛ ∂r,
j ⎞ dw
( r r ) ⎜ , 2 ( r, r,
)
2
dw
dw ⎛ t i ⎞
w,
ij = , i , j +
i⎟ 2
θ = i j + ⎜ t j ⎟ (2.33)
dr
dr ⎝ ∂θ ⎠ dr
dr ⎝ r ⎠
Assim, a partir da equação (2.33), pode-se definir o operador diferencial de segunda
ordem como sendo:
∂
∂x ∂x
d 1
( r i r j) 2 ( i j)
dr r tt
d
= , , +
(2.34)
dr
2 2
i j
Usando índices repetidos em (2.34) e considerando-se r, k r, k = t, k t, k = 1, obtémse
o operador de Laplace em coordenadas polares, que é dado por:
2 2
2 ∂ d 1 d
∇ = = 2 +
∂X ∂X
dr r dr
K K
(2.35)