o método dos elementos de contorno aplicado à ... - Sistemas SET

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onde & λ é o multiplicador plástico e r, que é dado por: Q r = ∂ , (6.30) ∂σ ij representa o gradiente de tensão do potencial plástico Q e estabelece a ‘direção’ do fluxo plástico. Na fase elástica a lei incremental é dada por: 127 e dσ = C dε (6.31) ij ijkl kl onde C ijkl é o tensor de constantes elásticas para materiais isótropos. Na fase plástica, o caso multiaxial é associado ao caso uniaxial através da tensão e da deformação plástica efetivas. Assim, a lei incremental é dada por: d Kd p σ = ε (6.32) A relação elasto-plástica entre tensão e deformação é dada por: p ( ) ep σ = C ε − ε = C ε (6.33) ij ijkl kl kl onde C ep é o tensor dos módulos elasto-plásticos tangentes. Uma expressão para & λ pode ser obtida da relação para &f : ijkl kl f& = f . & + f . p&= f . Cε&− λ& f . Cr+ f h (6.34) σ p σ σ ( σ p ) Considerando-se a lei de consistência, & λ >0 só é possível se &f =0. Logo, igualando a equação (6.34) a zero, obtém-se: & f . & σ Cε λ = f . Cr+ f h σ p Substituindo-se as equações (6.35) e (6.29) em (6.33), obtém-se C ep : (6.35)
C ep ⎧ C se ⎪ = ⎨ ( Cr ⊗ Cf σ ) ⎪C − se ⎩⎪ fσCr+ fph λ& = 0 λ& > 0 128 (6.36) Considere um certo instante t, onde ocorreu uma mudança incremental na função de escoamento, dada por df ∂f = dσij = fσ dσ , devida a um incremento de tensão. ∂σ ij Considerando-se que dσ é tangente à superfície, conclui-se que f σ deve ser normal à superfície para que se tenha ft = 0. Para um r arbitrário C ep é, em geral, não-simétrico. A simetria é recuperada quando faz-se r = fσ (equação 6.30), ou seja, o potencial plástico Q coincide com a função de escoamento f. Nesse caso, a lei de fluxo é dita associativa. Essa situação implica na chamada regra da normalidade, pois o tensor taxa de deformação plástica passa a ter a direção da p normal à superfície de plastificação, ou seja, ε&= λ&fσ. Admitindo-se na equação (6.35) que fσ . Cr+ fph > 0 , ter-se-á & λ≥0 somente se f . Cε&≥ 0 . Tendo-se em vista que f σ é normal à superfície, conclui-se que o ângulo entre σ f σ e C&ε deve ser menor ou igual a 90 o . Considerando-se que r = fσ , a hipótese fσ Cr+ fph > 0 , só é verificada para h = Kfp, tendo em vista que C é definido positivo. Assim, considerando-se a lei associativa e a relação h = Kfp, as equações (6.26.a), (6.29), (6.35) e (6.36) resultam em: p ε&ij = λ&fσ (6.37) p&=− λ&Kf =−λ &K (6.38) p & λ& fσCε = f Cf + K (6.39) C ep = σ σ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪C − ⎩⎪ C se ( Cf ⊗ Cf ) σ σ f Cf K se + σ σ λ& = 0 λ& > 0 (6.40)
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O MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO
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AGRADECIMENTOS Desejo expressar meu
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4.6 Momentos (Mij) nos Pontos do Co
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FIGURA 2.1 - Elemento Bidimensional
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FIGURA 7.8 - Viga Simplesmente Apoi
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Γ j : elemento de contorno; Γ g :
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P ~ : vetor das forças generalizad
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LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS MEF
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xvii FERNANDES, G.R. (1998). O mét
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Mais recentemente, CHENG (1979) des
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utilizando a teoria de Reissner e C
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Os elementos do contorno serão lin
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2 TEORIA DE PLACAS DELGADAS 2.1 Int
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u = u = 0 e u = w ≠ 0 1 2 3 sendo
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Considerando-se as hipóteses feita
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⎧M ⎫ 11 ⎪ ⎪ Et ⎨M 22 ⎬
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2 2 g ou ainda: ∇∇ w = D (2.15.
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x 2 x3 s a ds x 1 P ds n s b Mnsds
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Borda Engastada FIGURA 2.8 - Placa
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Desse modo, a segunda derivada pode
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⎛ π ⎞ r, i si = cos⎜β+ ⎟
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3 EQUAÇÕES INTEGRAIS PARA FLEXÃO
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carregamento ou ponto fonte e o pon
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Considerando-se as equações (2.17
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FIGURA 3.3 - Forças Atuantes no C
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V * 1 Mns =− −ν r i nir j sj (
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∂ ∂x i 2 * ⎛ ∂ M n ⎜ ⎝
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* [ R + ( Q P) w + ( P) ] ∗ + ( )
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KQwQ ( ) V( QPwP ) M ( QP) ( ) w
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gq ( ) 3 ⎛ 3⎞ Ωg = R ⎜ ln R
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4.2 - Discretização das Equaçõe
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N ~ X ⎧ 1 X ⎫ 1 ⎪ 2 ⎪ ⎪X1
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As equações (4.10), são obtidas
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ocorre quando se tem duas equaçõe
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onde: ^ KQwQ ( ) ( ) + HQU ( ) + H(
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A e no caso b, a mesma será escrit
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onde todos os termos são análogos
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• T c ~ é o subvetor de dimensã
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Eixo de rotação α r e R 1 r j n
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• os vetores {U}, {wc}, {P} e {Rc
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Os momentos elásticos, nos pontos
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onde: U P ~ ~ w, kkj ( q) + H'( q)
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1 ⎧ ∂w ⎫ ⎪ ⎪ ∂ 2 ⎪ n
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⎧M ⎪ ⎨M ⎪ ⎩M 11 12 22 ⎫
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integrada ( GIL RODRIGUEZ, 1986 ),
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l/ 2 a / 2 a a F d 2 2 Nsube Nsube
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Page 125 and 126: Os esforços cortantes nos pontos i
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Page 171 and 172: 0 onde Z ij é a posição da linha
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Page 183 and 184: a a a P 10” P a 10” FIGURA 7.13
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OLIVEIRA NETO, L. (1991). Análise
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