tensão <strong>de</strong> plastificação Fy = 44000 psi e posição x3 = 1,75”. O concreto tem módulo <strong>de</strong> elasticida<strong>de</strong> EC = 4000000 psi, tensão <strong>de</strong> plastificação fC = 6920 psi, coeficiente <strong>de</strong> poisson υ = 0,15 e módulo <strong>de</strong> encruamento negativo KC = - 5448819 psi. A análise foi feita consi<strong>de</strong>rando-se dois pontos <strong>de</strong> colocação externos, sendo que as posições <strong>dos</strong> mesmos foram <strong>de</strong>finidas por a1 = 0,1 e a2 = 0,25; a tolerância adotada para o critério <strong>de</strong> convergência foi <strong>de</strong> 0,1%. Foram utiliza<strong>dos</strong> 8 pontos <strong>de</strong> Gauss ao longo da espessura. Este exemplo foi analisado também por CORRÊA (1991), através do <strong>método</strong> <strong>dos</strong> <strong>elementos</strong> finitos, on<strong>de</strong> um oitavo da laje foi discretizado em 16 <strong>elementos</strong> e por CHUEIRI (1994), on<strong>de</strong> o mesmo discretiza um quarto do <strong>contorno</strong> da laje em 8 <strong>elementos</strong> e o domínio em 64 células. Carga Total (P) (Kips) 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 Flecha (w) (in) FIGURA 7.15 - Curva Carga-Deslocamento no Ponto Central experimental 16 <strong>elementos</strong> 8 <strong>elementos</strong> Na figura (7.15) está indicada a curva carga-<strong>de</strong>slocamento do ponto central, obtida consi<strong>de</strong>rando-se o mo<strong>de</strong>lo elasto-plástico para o concreto, para as duas malhas consi<strong>de</strong>radas. No caso da malha <strong>de</strong> 8 <strong>elementos</strong>, a carga total <strong>de</strong> 80 Kips foi aplicada em 28 incrementos, sendo que a plastificação na armadura do ponto central foi observada no segundo incremento, para a carga <strong>de</strong> 45,6Kips. Para a carga <strong>de</strong> 77Kips, que correspon<strong>de</strong> <strong>à</strong> carga limite observada experimentalmente, não observou-se nenhuma plastificação no concreto e o cálculo convergiu. No caso da malha <strong>de</strong> 16 <strong>elementos</strong>, o cálculo foi feito consi<strong>de</strong>rando-se 37 incrementos, sendo que nos últimos 25, o coeficiente β foi igual a 0,01. A plastificação ocorreu para β = 0,44, o que correspon<strong>de</strong> a P=35,2Kips. A armadura atingiu a <strong>de</strong>formação limite <strong>de</strong> 0,02, no ponto central, para a carga P=69,4Kips, on<strong>de</strong> o concreto não estava plastificado. Po<strong>de</strong>-se observar que a diferença entre as duas respostas é muito gran<strong>de</strong>. 166
A figura (7.16) representa a curva momento-curvatura do ponto central, consi<strong>de</strong>rando-se a malha <strong>de</strong> 8 <strong>elementos</strong>. Ainda com a malha <strong>de</strong> 8 <strong>elementos</strong>, estudou-se a influência do número <strong>de</strong> pontos <strong>de</strong> Gauss consi<strong>de</strong>rado ao longo da espessura na curva carga<strong>de</strong>slocamento do ponto central e constatou-se que as respostas foram praticamente idênticas para NG igual a 4, 6, 8 ou 12. Para NG=2, observou-se dificulda<strong>de</strong>s para zerar a normal. M.10E3(kgf.cm) 9,0 8,0 7,0 6,0 5,0 4,0 3,0 2,0 1,0 0,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 (1/γ).10E-3 FIGURA 7.16 - Curva Momento-Curvatura na Direção x1 no ponto Central Carga Total (P) (Kips) 80 70 60 50 40 30 20 10 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 Flecha (w) (in) experimental DANO(0,9) dano (0,85) dano(0,8) FIGURA 7.17 - Curva Carga-Deslocamento no Ponto Central, Consi<strong>de</strong>rando o Mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> Dano A figura (7.17) mostra algumas curvas carga-<strong>de</strong>slocamento do ponto central obtidas consi<strong>de</strong>rando-se o mo<strong>de</strong>lo <strong>de</strong> dano para o concreto, on<strong>de</strong> limitou-se o valor da variável <strong>de</strong> dano D, dada por (6.84), em 0,9; 0,85 e 0,8. O cálculo foi feito consi<strong>de</strong>rando-se 48 incrementos, sendo que nos últimos 27 incrementos o coeficiente β era igual a 0,01. No caso 167
- Page 1 and 2:
O MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO
- Page 3 and 4:
AGRADECIMENTOS Desejo expressar meu
- Page 5 and 6:
4.6 Momentos (Mij) nos Pontos do Co
- Page 7 and 8:
FIGURA 2.1 - Elemento Bidimensional
- Page 9 and 10:
FIGURA 7.8 - Viga Simplesmente Apoi
- Page 11 and 12:
Γ j : elemento de contorno; Γ g :
- Page 13 and 14:
P ~ : vetor das forças generalizad
- Page 15 and 16:
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS MEF
- Page 17 and 18:
xvii FERNANDES, G.R. (1998). O mét
- Page 19 and 20:
Mais recentemente, CHENG (1979) des
- Page 21 and 22:
utilizando a teoria de Reissner e C
- Page 23 and 24:
Os elementos do contorno serão lin
- Page 25 and 26:
2 TEORIA DE PLACAS DELGADAS 2.1 Int
- Page 27 and 28:
u = u = 0 e u = w ≠ 0 1 2 3 sendo
- Page 29 and 30:
Considerando-se as hipóteses feita
- Page 31 and 32:
⎧M ⎫ 11 ⎪ ⎪ Et ⎨M 22 ⎬
- Page 33 and 34:
2 2 g ou ainda: ∇∇ w = D (2.15.
- Page 35 and 36:
x 2 x3 s a ds x 1 P ds n s b Mnsds
- Page 37 and 38:
Borda Engastada FIGURA 2.8 - Placa
- Page 39 and 40:
Desse modo, a segunda derivada pode
- Page 41 and 42:
⎛ π ⎞ r, i si = cos⎜β+ ⎟
- Page 43 and 44:
3 EQUAÇÕES INTEGRAIS PARA FLEXÃO
- Page 45 and 46:
carregamento ou ponto fonte e o pon
- Page 47 and 48:
Considerando-se as equações (2.17
- Page 49 and 50:
FIGURA 3.3 - Forças Atuantes no C
- Page 51 and 52:
V * 1 Mns =− −ν r i nir j sj (
- Page 53 and 54:
∂ ∂x i 2 * ⎛ ∂ M n ⎜ ⎝
- Page 55 and 56:
* [ R + ( Q P) w + ( P) ] ∗ + ( )
- Page 57 and 58:
KQwQ ( ) V( QPwP ) M ( QP) ( ) w
- Page 59 and 60:
gq ( ) 3 ⎛ 3⎞ Ωg = R ⎜ ln R
- Page 61 and 62:
4.2 - Discretização das Equaçõe
- Page 63 and 64:
N ~ X ⎧ 1 X ⎫ 1 ⎪ 2 ⎪ ⎪X1
- Page 65 and 66:
As equações (4.10), são obtidas
- Page 67 and 68:
ocorre quando se tem duas equaçõe
- Page 69 and 70:
onde: ^ KQwQ ( ) ( ) + HQU ( ) + H(
- Page 71 and 72:
A e no caso b, a mesma será escrit
- Page 73 and 74:
onde todos os termos são análogos
- Page 75 and 76:
• T c ~ é o subvetor de dimensã
- Page 77 and 78:
Eixo de rotação α r e R 1 r j n
- Page 79 and 80:
• os vetores {U}, {wc}, {P} e {Rc
- Page 81 and 82:
Os momentos elásticos, nos pontos
- Page 83 and 84:
onde: U P ~ ~ w, kkj ( q) + H'( q)
- Page 85 and 86:
1 ⎧ ∂w ⎫ ⎪ ⎪ ∂ 2 ⎪ n
- Page 87 and 88:
⎧M ⎪ ⎨M ⎪ ⎩M 11 12 22 ⎫
- Page 89 and 90:
integrada ( GIL RODRIGUEZ, 1986 ),
- Page 91 and 92:
l/ 2 a / 2 a a F d 2 2 Nsube Nsube
- Page 93 and 94:
FIGURA 4.12 - Elemento de Contorno
- Page 95 and 96:
13 14 15 16 28 29 30 31 32 33 34 35
- Page 97 and 98:
apoio apoio l/2 l/2 x2 x1 B A l/2 l
- Page 99 and 100:
onde o valor de a1 foi fixado em 0,
- Page 101 and 102:
5 PROBLEMA DE PLACAS COM CAMPO DE M
- Page 103 and 104:
t/ 2 0 0 Mij = ∫ ijx dx σ − t/
- Page 105 and 106:
onde: ( ) ⎛ ∂ ⎜ ⎝ ∂x ∂x
- Page 107 and 108:
Substituindo-se em (5.23) o valor d
- Page 109 and 110:
∂ wq ∂x ∂x ( ) ∂ wq ( ) 2 2
- Page 111 and 112:
Logo, substituindo-se (5.45) em (5.
- Page 113 and 114:
onde: X T ⎡φ g p T ( N) ~ X = ψ
- Page 115 and 116:
lado onde ξ 2 x2 R2(θ) R1(θ) q x
- Page 117 and 118:
[ ] KQwQ e onde: ( ) ( ) correspond
- Page 119 and 120:
m * p e ( q) =−∫ w ( q, P) ξ
- Page 121 and 122:
onde: f kl β 104 ∂w qP β θ ∂
- Page 123 and 124:
• HQ ~ ( ), GQ ( ), Hc( Q), Gc( Q
- Page 125 and 126:
Os esforços cortantes nos pontos i
- Page 127 and 128:
• os coeficientes de E'' , de dim
- Page 129 and 130:
R ~ L ~ −1 R = A E ~ ~ * ~ 112 (5
- Page 131 and 132:
Os momentos são dados por: 114 e 0
- Page 133 and 134: 116
- Page 135 and 136: tensão à que está submetido, hav
- Page 137 and 138: v σ = σ t σ e σ t y p ε t E ε
- Page 139 and 140: igual à anterior em valor absoluto
- Page 141 and 142: n + 1 σ = σ y σy σ e σ n v n p
- Page 143 and 144: σ y ( p ) =( σ y p) 126 − (6.25
- Page 145 and 146: C ep ⎧ C se ⎪ = ⎨ ( Cr ⊗ Cf
- Page 147 and 148: a & & ijCijklε kl a ijσ ij λ& =
- Page 149 and 150: Nova superfície de plastificação
- Page 151 and 152: e ∆σ n + 1 σ e σ n + 1 σy v
- Page 153 and 154: σ c é o limite elástico inicial
- Page 155 and 156: Modo I Modo II Modo III FIGURA 6.10
- Page 157 and 158: D S S C = 0 (6.68) Considerando-se
- Page 159 and 160: e σ n ~ ⎡ ⎤ ⎢1 ν 0 ⎥ E
- Page 161 and 162: onde: ( ) S 0 d0 =ε , é o limite
- Page 163 and 164: onde: 0 ≤ α C ≤ 1, 0≤αT ≤
- Page 165 and 166: D = ( 1 ν ) 0 2 σ e σ n 3MPa σ
- Page 167 and 168: 7.2 Modelo Estratificado Admite-se
- Page 169 and 170: onde Ng é o número de pontos de G
- Page 171 and 172: 0 onde Z ij é a posição da linha
- Page 173 and 174: Verifica-se, então, o modelo const
- Page 175 and 176: externos. Deve-se observar, que no
- Page 177 and 178: e 1 { ∆M } i i{ N} e n { ∆M } 0
- Page 179 and 180: A seguir serão apresentados um exe
- Page 181 and 182: A tabela (7.1) fornece os momentos
- Page 183: a a a P 10” P a 10” FIGURA 7.13
- Page 187 and 188: armadura, o que corresponde, aproxi
- Page 189 and 190: 8 CONCLUSÕES A formulação do MEC
- Page 191 and 192: REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ALTIER
- Page 193 and 194: HAN, R.P.S.; MOU, Y. (1993). Void i
- Page 195 and 196: OLIVEIRA NETO, L. (1991). Análise