o método dos elementos de contorno aplicado à ... - Sistemas SET

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( ) ∫ w, q + p*( q, P) u( P) dΓ( P) + kkj ~ ~ ~ Γ N c ∑ i= 1 ( , ) ( ) * p q P w P ci ci ~ * * = u ( q, P) p( P) dΓ( P) + ∑ Rci P uci q, P + ∫ Γ ~ ⎧ T ⎪ ∂ onde: w, kkj ( q) = ⎨ ~ ⎩⎪ ∂x ⎡ ∂ ⎢ ⎢ ∂x p*( q, P) = ⎢ ~ ∂ ⎢ ⎣⎢ ∂x ~ 1 1 2 N c i= 1 ( ) ( ) ~ ∫ Ω g 2 2 ⎛ ∂ wq ( ) ⎞ ∂ ⎛ ∂ wq ( ) ⎞ ⎫⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎬ ⎝ ∂xk∂xk ⎠ ∂x2⎝∂xk∂xk ⎠ ⎭⎪ 2 ⎛ ∂ Vn ⎜ ⎝ ∂x ∂x 2 ⎛ ∂ Vn ⎜ ⎝ ∂x ∂x = ( ) Ω ( ) ∗ gp ( ) w qpd , p g g ~ 65 (4.60) (4.61) 2 ⎞ ∂ ⎛ ∂ M ⎞ ⎤ n ( qP , ) ⎟ − ⎜ ( qP , ) ⎟ ⎥ ⎠ ∂x 1 ⎝ ∂xk∂xk ⎠ ⎥ 2 (4.62) ⎞ ∂ ⎛ ∂ M ⎞ ⎥ n ( qP , ) ⎟ − ⎜ ( qP , ) ⎟ ⎥ ⎠ ∂x 1 ⎝ ∂xk∂xk ⎠ ⎦⎥ k k * * k k * * w u P { u P u P } w P n P T ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) ~ ⎧ ∂ ⎫ 1 2 ⎨ ⎬ ⎩ ∂ ⎭ ⎧ * T ⎪ ∂ pci ( q, P) = ⎨ ~ ⎩⎪ ∂x ⎡ ∂ ⎢ ⎢ ∂x u*( q, P) = ⎢ ~ ⎢ ∂ ⎢ x ⎣⎢ ∂ 1 2 1 2 * 2 * ⎛ ∂ R ci ( q, P) ⎞ ∂ ⎛ ∂ R ci ( q, P) ⎞ ⎫⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎬ ⎝ ∂xk∂xk ⎠ ∂x2⎝ ∂xk∂xk ⎠ ⎭⎪ 2 ⎛ ∂ w ⎜ ⎝ ∂x ∂x 2 ⎛ ∂ w ⎜ ⎝ ∂x ∂x ⎞ ⎛ ⎛ w ⎞ ⎞ ( qP , ) ⎟ − ⎜ ⎜ ( qP , ) ⎟ ⎟ ⎠ x ⎜ x x ⎜ n ⎟ ⎝ ⎠ ⎟ ⎝ ⎠ ⎞ w ( qP , ) ⎟ ( qP , ) ⎠ x x x n − 2 2 ∂ ∂ ∂ ⎤ ⎥ ∂ 1 ∂ ∂ ∂ ⎥ ⎥ ⎛ 2 2 ∂ ⎛ ⎞⎞ ⎜ ∂ ∂ ⎜ ⎟⎟ ⎥ ∂ ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ ∂ ∂ ⎝ ∂ ⎠ ⎟ ⎥ 2 ⎠ ⎦⎥ * * k k k k * * k k k k { } { } T p ( P) = p ( P) p ( P) = V ( P) M ( P) ~ (4.63) (4.64) (4.65) 1 2 n n (4.66) 2 * 2 * ⎧ w w * T ⎪ ∂ ⎛ ∂ ⎞ ci ∂ ⎛ ∂ ⎞ ⎫ ci ⎪ uci ( q, P) = ⎨ ⎜ ( qP , ) ⎟ ⎜ ( qP , ) ⎟ ⎬ ~ ⎩⎪ ∂x 1 ⎝ ∂xk∂xk ⎠ ∂x 2 ⎝ ∂xk∂xk ⎠ ⎭⎪ 2 * 2 * ⎧ w w * T ⎪ ∂ ⎛ ∂ ⎞ ∂ ⎛ ∂ ⎞ ⎫ wg( q, P) = ⎜ ( qP , ) ⎟ ⎜ ( qP , ) ⎟ ⎪ ⎨ ~ x ⎜ ⎝ xk x ⎟ k ⎠ x ⎜ ⎝ xk x ⎟ ⎬ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎩⎪ 1 2 ∂ ∂ k ⎠ ⎭⎪ (4.67) (4.68) onde as derivadas dos deslocamentos e esforços fundamentais estão definidos no item (3.2.1). Após a discretização do contorno e a aproximação das variáveis, os valores de w, kkj em Ni pontos internos são calculadas através da equação:
onde: U P ~ ~ w, kkj ( q) + H'( q) H' c ( q) w G'( q) G' c ( q) R T'( q) ~ c c ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ⎡ ⎤⎧⎪ ⎫⎪ ⎡ ⎤⎧⎪ ⎫⎪ ⎢ ⎥⎨ ⎬ = ⎢ + ⎥⎨ ⎬ + (4.69) ⎣ ⎦ ⎩⎪ ⎭⎪ ⎣ ⎦ ⎩⎪ ⎭⎪ • os vetores {U}, {wc}, {P} e {Rc} são os vetores de deslocamentos e esforços dos nós e cantos do contorno, já calculados, • as matrizes H ' e G ~ ~ ' têm dimensões 2Ni x 2Nn e H'c ~ e G'c ~ 66 têm dimensões 2Ni x Nc. Os coeficientes de H ' e G ' são provenientes das integrais sobre os elementos do ~ ~ contorno discretizado expressas em (4.19) e (4.20), porém com p*( q, P) e u*( q, P) ~ ~ definidos em (4.62) e (4.65). As integrais de contorno da equação dos deslocamentos (4.47), da equação das curvaturas (4.57) e da equação das derivadas das curvaturas (4.69) podem ser feitas numericamente, já que não haverá singularidade nas funções fundamentais envolvidas. 4.6 Momentos (Mij) nos Pontos do Contorno Os momentos em um ponto do contorno Q serão calculados em função dos valores nodais de deslocamentos e esforços do elemento ao qual pertence. Assim, seja o sistema local de coordenadas ( x1, x2) de um elemento qualquer do contorno, dado pela figura (4.11). X2 1 P ξ=-1 ξ=0 x2 α Γj FIGURA 4.11 - Sistema Local de Coordenadas de um Elemento do Contorno n 2 x 1 ξ=1 l x 2 x1 X1
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O MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO
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AGRADECIMENTOS Desejo expressar meu
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4.6 Momentos (Mij) nos Pontos do Co
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FIGURA 2.1 - Elemento Bidimensional
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FIGURA 7.8 - Viga Simplesmente Apoi
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Γ j : elemento de contorno; Γ g :
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P ~ : vetor das forças generalizad
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LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS MEF
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xvii FERNANDES, G.R. (1998). O mét
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Mais recentemente, CHENG (1979) des
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utilizando a teoria de Reissner e C
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Os elementos do contorno serão lin
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2 TEORIA DE PLACAS DELGADAS 2.1 Int
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u = u = 0 e u = w ≠ 0 1 2 3 sendo
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Considerando-se as hipóteses feita
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Page 123 and 124: • HQ ~ ( ), GQ ( ), Hc( Q), Gc( Q
Page 125 and 126: Os esforços cortantes nos pontos i
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tensão à que está submetido, hav
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v σ = σ t σ e σ t y p ε t E ε
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igual à anterior em valor absoluto
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n + 1 σ = σ y σy σ e σ n v n p
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σ y ( p ) =( σ y p) 126 − (6.25
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C ep ⎧ C se ⎪ = ⎨ ( Cr ⊗ Cf
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a & & ijCijklε kl a ijσ ij λ& =
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Nova superfície de plastificação
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e ∆σ n + 1 σ e σ n + 1 σy v
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σ c é o limite elástico inicial
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Modo I Modo II Modo III FIGURA 6.10
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D S S C = 0 (6.68) Considerando-se
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e σ n ~ ⎡ ⎤ ⎢1 ν 0 ⎥ E
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onde: ( ) S 0 d0 =ε , é o limite
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onde: 0 ≤ α C ≤ 1, 0≤αT ≤
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D = ( 1 ν ) 0 2 σ e σ n 3MPa σ
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7.2 Modelo Estratificado Admite-se
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onde Ng é o número de pontos de G
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0 onde Z ij é a posição da linha
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Verifica-se, então, o modelo const
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externos. Deve-se observar, que no
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e 1 { ∆M } i i{ N} e n { ∆M } 0
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A seguir serão apresentados um exe
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A tabela (7.1) fornece os momentos
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a a a P 10” P a 10” FIGURA 7.13
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A figura (7.16) representa a curva
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armadura, o que corresponde, aproxi
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8 CONCLUSÕES A formulação do MEC
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ALTIER
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HAN, R.P.S.; MOU, Y. (1993). Void i
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OLIVEIRA NETO, L. (1991). Análise
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